阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质优质课一等奖教案

第1课时

平面向量数量积的物理背景及其含义

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题．

观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：

(1)如何计算力F所做的功？

提示：W＝|F||s|cos_θ. (2)力F在位移方向上的分力是多少？

提示：|F|cos_θ. (3)力做功的大小与哪些量有关？

提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．

2．归纳总结，核心必记

(1)向量的数量积的定义

已知条件

定义

记法

规定

(2)向量的数量积的几何意义

①投影的概念：(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ．

(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ．

②数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积．

(3)向量数量积的性质

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．

①a⊥b⇔a·b＝0．②当a与b同向时，a·b＝|a||b|，

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．

a·b③a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.④cos θ＝.⑤|a·b|≤|a||b|. |a||b|(4)向量数量积的运算律

①a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．

③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

[问题思考] (1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？

提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．

“

向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ

数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积) a·b＝|a||b|cos_θ

零向量与任一向量的数量积为0

向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．

(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？

提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos_θ有可能为0，即a⊥b.

②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|．

(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？

提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．

(4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？

提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，

∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°. (5)a·b中的“·”能省略不写吗？

提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．

(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？

提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．

[课前反思] (1)向量数量积的定义：

；

(2)向量数量积的几何意义：

；

(3)向量数量积的性质：

(4)向量数量积的运算律：

[思考1]

要求a·b，需要知道哪些量？

名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos_θ．

[思考2]

你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？

名师指津：求平面向量数量积的步骤为：

(1)求a与b的夹角θ

，θ∈[0，π]；(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求a·b的值．

讲一讲

1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．

(2)设正三角形ABC的边长为2，求a·b＋b·c＋c·a.

“

向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．

练一练

1．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：

[思考]

如何求向量的模|a|?

提示：|a|＝a·a．

讲一讲

2．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________．

(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，则|b|＝________．

向量模的常见求法

在求向量的模时，直接运用公式|a|＝a·a，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2. 练一练

π2．(1)已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若a与b的夹角为，则|a|＝________；

3(2)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b|＝________．

[思考1]

如何求a与b的夹角θ？

a·b名师指津：利用cos_θ＝求出cos_θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ.

|a||b|[思考2]

两非零向量a与b垂直的充要条件是什么？

名师指津：两非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0. 讲一讲

3．(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．

(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．

求向量a，b的夹角θ的思路

“

(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．

(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．

练一练

3．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？

————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．

2．要掌握与数量积相关的三个问题

(1)数量积的计算，见讲1；(2)向量的模的计算，见讲2；

(3)向量的夹角及垂直问题，见讲3. 3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别

(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：

①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.

(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1.

(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.

(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．

题组1

向量数量积的运算

1．下列命题：

(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；

(2)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意向量a，b，c都成立；

(3)对任一向量a，有a2＝|a|2. 其中正确的有(

)

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

32．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为(

) 2a·b“

91A.

B．3

C．2

D.

22

4444A.

B.

C．－

D．－

9339

题组2

向量的模

2π5．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为3(

)A．2

B．4

C．6

D．12 6．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．

|a|7．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________．

|b|题组3

两向量的夹角与垂直问题

8．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(

) A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

9．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为(

)A．－6

B．6

C．3

D．－3 10．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为

60°，则k＝________．

1111．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝. 42(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．

“