小结课件配套优秀公开课教案设计

第二章

平面向量----小结与复习

一、教学目标：

知识与技能：

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念及了平面向量基本定理和.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

2. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

向量的坐标概念和坐标表示法、向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

数量积（点乘或内积）的概念。

情感、态度与价值观

通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

二．重点难点 重点：平面向量的基本概念和基本解题方法

难点：知识的综合运用能力

三、教材与学情分析

平面向量部分有许多新的概念和独特的运算体系，学生掌握较为困难。在复习中一方面再次澄清基本概念，熟悉运算方法。同时从本章知识的整体上来理解和把握，在具体问题解决中加深理解和知识的综合运用能力。

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）知识梳理

1

（二）典例解析

→【例1】

设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量AB＝i－2j，BC→＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．

解

法一

假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即AB→∥BC→，

∴存在实数λ，使AB→＝λBC→，i－2j＝λ(i＋mj)，λ＝1，λm＝－2，

∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．

法二

假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，

∴AB→＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，

BC→＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三点共线，即AB→∥BC→，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．

【例2】

已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．

解

法一

向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．

∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，

∴(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)．

∴k－6＝14λ，λ＝－2，2k＋4＝－4λ，

1解得∴实数k的值为－1. k＝－1.

法二

∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，

ka＋2b与2a－4b平行，∴(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得k＝－1. 【例3】

已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

(1)求证：AB⊥AD；

(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

(1)证明

∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)．

∵AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AD→，即AB⊥AD. (2)解

∵AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，∴AB→＝DC→. 设C点坐标为(x，y)，则DC→＝(x＋1，y－4)，

∴x＋1＝1，x＝0y－4＝1.

解得，y＝5.

∴点C坐标为(0,5)．

从而AC→＝(－2,4)，BD→＝(－4,2)，且|AC→|＝25，|BD→|＝25，AC→·BD→＝8＋8＝16，

→→设AC→与BD→的夹角为θ，则cos θ＝AC·BD＝16＝4. |AC→|·|BD→|205

2

4∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为. 5【例4】已知向量a＝(4，－2)，b＝(x,1)．

(1)若a，b共线，求x的值；

(2)若a⊥b，求x的值；

(3)当x＝2时，求a与b夹角θ的余弦值．

解

(1)∵a，b共线，∴－2x＝4.∴x＝－2. 1(2)

∵a⊥b，∴4x－2＝0.∴x＝. 2a·b63(3)

(3)当x＝2时，a·b＝6，|a|＝20，|b|＝5.∴cos θ＝＝＝. |a||b|20×55【例5】

设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．

1解

法一

∵|3a－2b|＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝. 31∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6×＋1＝12.∴|3a＋b|＝23. 3222法二

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y1＝x2＋y2＝1. ∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∴|3a－2b|＝∴|3a＋b|＝x1＋x223x1－2x22＋3y1－2y221＝3.∴x1x2＋y1y2＝. 3＋y1＋y22＝

19＋1＋6×＝23. 3【例6】

设0<|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|. |a||a|sin x＋2＋－|b|＋1. 解

f(x)＝1－sinx－|a|sin x－|b|＝－2422|a||a|2∵0<|a|≤2，∴当sin x＝－时，－|b|＋1＝0；

24|a|4－|b|＋1＝0，|a|＝2，当sin x＝1时，－|a|－|b|＝－4.由得

|b|＝22.－|a|－|b|＝－42

∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋42，

∴|a＋b|＝8＋42＝22＋2. 六、课堂小结

平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的应用

七、课后作业.课时练与测

八、教学反思

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