3.3.2 均匀随机数的产生优秀导入

§3.3.2

均匀随机数的产生

教学目标

一、知识与技能

1．了解均匀随机数的概念.

2.

掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法.

3.

会利用均匀随机数解决具体的有关概率问题.

二、过程与方法

通过模拟实验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯.

三、情感、态度与价值观

本节课的特点是随机试验多，学习时养成勤学动脑的良好习惯.

教学重点、难点

教学重点：利用计算器或者计算机产生均匀随机数应用到概率的实际应用中.

教学难点：利用计算器或者计算机产生均匀随机数应用到概率的实际应用中.

教法与学法导航

教学方法：本节课采用启发探究式教学模式．

学习方法：试验和探究式学习．

教学准备

教师准备：投影片、计算机．

学生准备：计算器．

教学过程

一、复习回顾

1.

几何概型的含义是什么？它有哪两个基本特点？

含义：几何概型是每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型.

特点：（1）可能出现的结果有无限多个；

（2）每个结果发生的可能性相等.

2 在几何概型中，事件A发生的概率计算公式是什么？

3.

我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟P（A）试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)构成事件A的区域长度(面积或体积)

方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.

二、主题探究

合作交流

（一）均匀随机数的产生

思考1：一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为8点过X分钟，则X可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的，还是连续的？

X在区间[a，b]上等可能取任意一个值；X的取值是连续的.

思考2：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，可以利用计算器产生（见教材P137）.

如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？

用ExCel演示.

（1）选定Al格，键入“＝RAND（）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的

[0，1]上的均匀随机数；

（2）选定Al格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击粘贴，则在A1～A100的数都是[0，1]上的均匀随机数.这样我们很快就得到了100个0～1之间的均匀随机数，相当于做了100次随机试验.

思考3：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？

首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数X＝RAND，

然后利用伸缩和平移变换：

Y＝X*(b－a)＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数.

思考4：利用计算机产生100个[2，6]上的均匀随机数，具体如何操作？

（1）在A1～A100产生100个0～1之间的均匀随机数；

（2）选定Bl格，键入“＝A1*4＋2”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[2，6]上的均匀随机数；

（3）选定Bl格，拖动至B100，则在B1～B100的数都是[2，6]上的均匀随机数.

（二）随机模拟方法

思考1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，那么事件A是哪种类型的事件？

随机事件

思考2：设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间，若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？

7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5.

思考3：如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发生的频率，从而估计事件A发生的概率？

（1）在A1～A100，B1～B100产生两组[0，1]上的均匀随机数；

（2）选定D1格，键入“＝A1－B1”，按Enter键.

再选定Dl格，拖动至D100，则在D1～D100的数为Y－X的值；

（3）选定E1格，键入“＝FREQUENCY（D1：D100，－0.5）”，统计D列中大于－0.5的数的频数；

思考4：设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关系？

6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x．

三、拓展创新

应用提高

例1 在正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值（见教材P139图3.3-3）.

解析：随便撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似乘正比.

（1）圆面积︰正方形面积≈落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数.

（2）设正方形的边长为2，则圆面积︰正方形面积＝π/(2×2)＝

π/4.

（3）由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以

π≈落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数×4，

这样就得到了π的近似值.

另外，我们可以用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：

（1）产生两组0~1之间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；

（2）经平移和伸缩变换，a＝2（a1﹣0.5），

b＝2（b1﹣0.5）；

4N（3）数出落在圆内x2＋y2＜1的点（a，b）的个数N1，计算=1（N代N表落在正方形中的点的个数.

可以发现，随着试验次数的增加，得到的π的近似值的精度会越来越高.

例2

利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2

所围成的图形的面积.

分析：以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀随机点的频率，则所求区域的面积＝频率×2.

解：（1）产生两组0~1之间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；

（2）经平移和伸缩变换，a＝2（a1－0.5)；

（3）数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分面积.

四、小结

均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．

课堂作业

P140练习1，2.