2.1.2 向量的几何表示课件配套优秀公开课教案设计

向量的几何表示

教学设计：

三维目标

1．知识与技能

(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．

(2)掌握向量的几何表示的，根据向量的几何意义理解模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．

2．过程与方法

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别及向量的几何意义．

3．情感、态度与价值观

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．

重点、难点

重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．

难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．

教学思路：

1．本节的教学应当特别注意从向量的物理背景、几何背景入手，从学生熟悉的矢量概念引出向量概念，还可以要求学生自己举出一些“既有大小，又有方向的量”，从而使学生更好地把握向量的特点．

2．本节介绍了两种向量的表示方法：几何表示和字母表示．几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示则利于向量运算，这两种方法需要学生熟练掌握．教科书用黑体字母表示向量，如a，在手写时可用a表示．用有向线段表示向量时，要提醒学生注意→AB的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点．

3．相等向量是长度相等且方向相同的向量，相等向量是一类向量的集合．

任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，这一点值得特别注意．还要注意平行向量与平行线段的区别．

共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆。

教学中，可以借助信息技术，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．

教学流程

→

【问题导思】

1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？

【提示】

面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．

2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？

【提示】

利用有向线段来表示．

知识点归纳：

1．向量与数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．

2．向量的几何表示

(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．

→→→(2)向量可以用有向线段表示，向量AB的大小也就是向量

AB的长度(或称模)，记作|AB|.→→向量也可以用字母a、b、c…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD. 3．向量的有关概念

零向量

单位向量

平行向量

(共线向量)

长度等于0的向量，记作0 长度等于1的向量

方向相同或相反的非零向量

向量a，b平行，记作a∥b

规定：零向量与任一向量平行

长度相等且方向相同的向量

向量a，b相等，记作a＝b

相等向量

例题分类解析：

一、向量的有关概念的判断：

例1、下列说法正确的有________．

(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

→→(2)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；

→→(3)向量AB与BA是平行向量；

(4)任何两个单位向量都是相等向量．

【思路探究】

明确向量的有关概念，根据定义进行判定．

【自主解答】

(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．

(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．

(3)正确．向量是长度相等，方向相反的两个向量．

必须在(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．

【答案】

(3)

小结：

1．单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的．

2．对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．

变式训练：

判断下列说法是否正确，并简要说明理由：

(1)零向量只有大小没有方向；

(2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；

(3)若向量a与向量b同向，|a|＞|b|，则a＞b；

(4)若a＝b，b＝c，则a＝c. 【解】

(1)不正确，零向量的长度为零，方向是任意的，并不是没有方向．

(2)正确，相等向量的方向相同，因此必是平行向量，但平行向量的长度不一定相等，因此不一定是相等向量．

(3)不正确，向量不能比较大小．

(4)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

二、向量的表示及应用

例2、一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地

图2－1－1 →→→→(1)画出AD，DC，CB，AB；

(2)求B地相对于A地的位置向量．

【思路探究】

按要求用直尺作出向量，解答时既要考虑向量大小，又要考虑其方向及起点．

→→→→【自主解答】

(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．

→→(2)由题意知AD＝BC，

∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．

→→∴AB＝DC，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．

小结：

1．作向量的一般步骤是：首先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．

2．用向量知识解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型，然后解决数学问题．

变式训练：

在某军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北走了120 km到达C地，最后又改变方向，向南偏东45°突进802 km到达D处，完成了对蓝军的包围．

→→→(1)在如图2－1－2所示的坐标纸上，用直尺和圆规作出向量AB，BC，CD；

图2－1－2 →(2)求出|AD|. →→→【解】

(1)向量AB，BC，CD如图所示：

→(2)|AD|＝202＋402＝205 (km).

三、相等向量与共线向量

例3、如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b. →→图2－1－3

(1)与a的模相等的向量有多少个？

(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？

(3)与a共线的向量有哪些？

(4)请一一列出与a，b相等的向量．

【思路探究】

借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断．

【自主解答】

(1)与a的模相等的向量有23个．

(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD，BC，AO，FE. (3)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD. (4)与a相等的向量有EF，DO，CB；

与b相等的向量有DC，EO，FA. 小结：

1．寻找相等向量，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线；寻找共线向量，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．

2．向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来．

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

变式练习：

若将本例中的正六边形ABCDEF改为如图2－1－4所示的▱ABCD，则

图2－1－4 (1)与OA的模相等的向量有多少个？

(2)与OA的模相等，方向相反的向量有哪些？

(3)写出与AB共线的向量．

→→→【解】

(1)与OA的模相等的向量有OC，AO，CO三个向量．

(2)与OA的模相等且方向相反的向量为OC，AO. (3)与AB共线的向量有DC，CD，BA.

【课堂小结】

1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念，两个共线向量不一定要在同一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．

3．向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小.

【巩固练习】

1．下列说法正确的是(

) A．若|a|＞|b|，则a＞b

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若a＝b，则a与b共线

D．若a≠b，则a一定不与b共线

【解析】

A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|＞|b|，但a与b的方向不确定，不能说a＞b，A不正确；同理B错误；D中，a≠b，a可与b共线．故选C. 【答案】

C 2．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是(

) A．一条线段

B．一条直线

C．圆上一群孤立的点

D．一个半径为1的圆

→→→→→→→→→→→

【解析】

由于向量的始点确定，而向量平行于同一直线，所以随向量模的变化，向量的终点构成一条直线．

【答案】

B →→→→3．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，且|AB|＝|AD|，则四边形ABCD为________．

图2－1－5 →→【解析】

∵AB＝DC，

∴AB//DC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

→→∵|AB|＝|AD|，∴平行四边形ABCD是菱形．

【答案】

菱形

4．如图所示四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．

图2－1－6 →(1)写出与向量AB共线的向量；

(2)写出与向量AB相等的向量．

→→→→→→→→【解】

(1)与向量AB共线的向量是BA，DE，ED，DC，CD，CE，EC；

→→→(2)与向量AB相等的向量是CE，DC.

→