复习参考题课时教案

3.2.1 几类不同增长的函数模型

教学目标分析：

知识目标：掌握指数函数、对数函数以及幂函数等的图象和性质，会比较它们的增长差异。

过程与方法：通过比较上面几类函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。

情感目标：提高学生的观察、分析、比较能力，以及总结的能力，培养数学思维的逻辑性。

重难点分析：

重点：利用函数模型分析问题。

难点：利用函数模型分析问题。

互动探究：

一、课堂探究：

1、情境引入

澳大利亚兔子数“爆炸”

在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。1859年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲，由于澳洲茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只。可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。

例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？

探究一、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？

探究二、如何建立日回报效益与天数的函数模型？

解：设第x天所得回报是y元，方案一可以用函数y40(xN*)进行描述；

方案二可以用函数y10x(xN*)进行描述；

方案三可以用函数y0.42x1(xN*)进行描述。

探究三、

（1）指出它们属于哪种函数模型？

它们分别属于：ykxb（直线型）；ykaxb（指数型）. （2）三个函数模型的增减性如何？

三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模。

（3）另外还可能有哪些函数模型呢？

yk（反比例函数模型）；yax2bxc(a0)（抛物线型模型）；ymoglxanxn（对数型模型）；f(x)axb（幂型函数模型）；分段函数模型.

探究四、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？

日回报效益分析：（1）三个方案所得回报的增长情况：

表－1方案一方案二方案三x(天)y(元)增加量(元)y(元)增加量(元)y(元)增加量(元)40100.4140020100.80.42

345678910…4040404040404040…00000000…30405060708090100…1010101010101010…1.63.26.412.825.651.2102.4204.8…0.81.63.26.412.825.651.2102.4…

（2）作出三个函数的图像：

函数图像是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。

我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多，从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？

（3）根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？

由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所

无法企及的，从每天所得回报看，在第1~4天，方案一最多，在5~8天，方案二最多；第9天开始

，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。

累计回报效益分析：

天数

回报/元

方案

一

二

三

1 40 10 2 3 4 5 200 150 6 240 210 7 8 9 360 450 10 400 550 11 440 660 80 120 160 30 60 100 6 280 320 280 360 0.4 1.2 2.8 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8

6005004003002001000051015方案一 回报(元)方案二 回报(元)方案三 回报(元)线性 (方案一回报(元))多项式 (方案二 回报(元))回报(元))因此，投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11 天）以上，刚应选择第三种投资方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：

y0.25x,ylog7x1,y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，只需在区间[10，1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可。

（1）借助计算机作出函数的图像：

对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。

通过观察函数图像得到初步结论：

按对数模型进行奖励时符合公司的要求。

（2）列表计算确认上述判断：

模型

奖金/万元

利润

10 20 …

800 810 …

1000 y0.25x

2.5 5 …

…

…

…

…

y1.002x

1.02 1.04 …

4.95 5.04 …

…

ylog7x1

2.18 2.54 …

4.44 4.442 …

4.55 （3）问题：当x[10，1000]时，奖金是否不超过利润的25%呢？

我们来看函数f(x)log7x10.25x的图像：

综上所述，模型ylog7x1确实能符合公司的要求。

探究五、对数函数ylogax(a1)，指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0,)上增长差异的具体情况。

特例引入：探究对数函数ylog2x，指数函数y2与幂函数yx在区间(0,)上的增长差异情况。

策略一：表格计算（学生可用计算器完成）

x2x

y2x

yx2

ylog2x

1 2 1 0 2 4 4 1 3 8 9 1.585 4 16 16 2 5 32 25 6 64 36 7 128 49 8 256 64 3 …

…

…

…

2.322 2.585 2.807

策略二：用几何画板做出函数的图像进行比较。

分析图表，交流成果：随着x的增大，函数y2的增长速度极快，其图像就像与x轴垂直一样，而函数yx与y2的增长速度相比较，几乎有些微不足道，所谓“指数爆炸”，真是名副其实。类似比较yx2与ylog2x的关系

探究六、你能在上面的图像上，标出使不等式log2x2xx2,log2xx22x成立的x的取值范围吗？

不等式log2x2xx2的解集是{x|2x4}，

2xx不等式log2xx22x的解集是{x|0x2或x4}

探究七、通过对函数y2x,yx2,ylog2x的增长差异的讨论，能得出指数函数yax(a1)，幂函数yxa(a0)，对数函数ylogax(a1)的一般结论吗?

一般结论：

在区间(0,)上，随着x的增大，ya(a1)的增长速度越来越快（指数爆炸），会超过并远远大于yx(n0)的增长速度（直线上升），而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢（对nx

数增长）。因此，总会存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax。

探究八、对数函数ylogax(0a1)，指数函数yax(0a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0,)上的衰减情况。

特例探究：探究对数函数ylog1x，指数函数y()与幂函数yx2在区间(0,)上的212x增长差异情况。

策略一：表格计算（学生可用计算器完成）

x

1y()x

21 2 3 4 5 6 7 8 …

…

…

…

yx2

11

241

1 41

81

91

161

161

321

251

641

361

1281

491

2561

64ylog1x

0 –1 –1.585 –2 –2.322 –2.585 –2.807 –3 2策略二：用几何画板做出函数的图像进行比较。

一般结论：在区间(0,)上，随着x的增大，

ylogax(0a1)的衰减速度比较快，会超过yax(0a1)的衰减速度，而yxn(n0)的衰减速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当xx0时，有xnaxlogax。

二、

课堂练习： 教材第98页1、2题

1、四个变量y1,y2,y3,y4,随变量x变化的数据如下表：

x

0 5 10 505 1785.2 55 1.4295 15 1130 33733 80 1.1407 20 2005 25 3130 30 4505 y1

5 130 y2

5 94.478 y3

5 30 y4

5 2.3107 6.37105

105 1.0461 1.2107

130 1.0151 2.28108

155 1.005

关于x呈指数型函数变化的变量是_________________ 2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机。现有10台计算机被第一轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？

反思总结： 1、

本节课你学到了哪些知识点？

2、

本节课你学到了哪些思想方法？

3、

本节课有哪些注意事项？

课外作业： （一）教材107页习题3.2 A组第2、3题

1、若用模型yax来描述汽车紧急刹车后滑行的距离ym与刹车时的速率xkm/h的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m.在限速为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m，问这辆车是否超速行驶？

2、某人开汽车以60km/h的速率从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速率返回A地。把汽车与A地的距离xkm表示为时间th（从A地出发时开始）的函数，并画出函数图像；再把车速vkm/h表示为时间th的函数，并画出函数的图像.

2

（二）补充

3、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间x248x8000，已知此生产线年产量最大为210吨. 的函数关系式可以近似地表示为y5（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润为多少？

答案：（1）x200,f(x)min32；（2）x210,g(x)max1660. 课后反思：