阅读与思考 三角学与天文学说课稿【一等奖】

《任意角的三角函数》教学设计

一、教学内容分析

本教学设计选至《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修4）》（人教A版）第一章1.2.1任意角的三角函数第一课时（教材11页至13页）。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、函数值符号判断、同角三角函数基本关系、多组诱导公式、函数图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。

二、学生学习情况分析

在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？

《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：

第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单摆、弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、昼夜更替、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内

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容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：

其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；

其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义，并认识其定义域、函数值的符号。

三、设计理念

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

四、教学目标

1．理解任意角三角函数的第一定义和第二定义，掌握用定义求三角函数的值及函数定义域的方法；

2、理解任意角三角函数的第一定义是对锐角三角函数的自然推广，是特殊到一般的过程；而任意角的三角函数第二定义是其第一定义的特例，是一般到特殊的过程；

3、通过体会对锐角三角函数的自然推广，而得到的具有周期变化规律的任意角三角函数，是我们认识和刻画周期现象的重要模型，对研究周期现象具有重要的现实意义。

五、教学重点与难点

【教学重点】：任意角三角函数的定义.

【教学难点】：根据第二定义求三角函数值及正切函数的定义域.

具体设计如下：

六、教学过程

第一部分——复习旧知

问题1:我们在初中学习了锐角三角函数，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数。请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调（图1）。

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斜边

邻边

对边

sin对边对边邻边，cos，tan.斜边斜边邻边 图1

思考：如何求得30°、45°和60°的正弦、余弦、正切的值？

【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。

第二部分——新课导入

问题2：本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系，这在第一节中已经有所感受。现在请你根据初中学过的锐角三角函数的定义，思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？

【学生自主探究】：如图2,设是一个锐角，在它的终边上任取一点P(x,y)，点P到原点O的距离为rx2y20，则

sin|MP|y|OM|x|MP|y，costan. ，y|OP|r|OP|r|OM|x让学生画图后再投影展示进行对比，教师再根据投影进行强调（图2）。

图2 【设计意图】：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一O P(x,y)Mx

3

个熟悉的起点，扎实的固着点。

问题3：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。

【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。

第三部分——给出任意角三角函数的定义

y第一定义:

M

的终边P(x,y)O x 图3 如图3，设是一个任意角，在它的终边上任取一点P(x,y)，点P到原点O的距离为rx2y20，则

y（1）叫做的正弦（sine),记作sin，即

rysin；

rx（2）叫做的余弦（cosine),记作cos，即

rxcos；

ry（3）叫做的正切（tangent),记作tan，即

xytan(x0). x【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到原点的距离。

问题4：

回忆弧度制中1弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，

4

能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么？写出最简单的形式。

【学生自主探究】：siny，cosx，tany. x教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。

图4

如图4，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则

（1）y叫做的正弦（sine),记作sin，即

siny；

O 的终边y于是，很自然地给出任意角三角函数的第二定义：

P(x,y)O A(10)

，x（2）x叫做的余弦（cosine),记作cos，即

cosx；

（3）

y叫做的正切（tangent),记作tan，即

xytan(x0).xk(kZ)时，的终边在y轴上，这时点P的横坐标2yx等于0，所以tan无意义．除此之外，对于确定的角，上述三个值都是唯x可以看出，当一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

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请将下列表格补充完整。

三角函数

sin

定义一：|OP|r

y

rx

ry

x定义二：|OP|1

定义域

y

x

y

xR

R

{|cos

tan

2k} 及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。

第四部分——例题精讲

例1.（课本P12例2）已知角终边经过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值。

【分析】：让学生现学现用，直接利用任意角三角函数的第一定义就可以得到答案。

例2.（课本P12例1）求5的正弦、余弦和正切值。

3【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点。

【教师讲解】：

图5

O yMA(

1，0)xP5的终边3本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到原点的距离），因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P，如图5可以知道POM题答案。

不妨让学生取r|OP|2，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否

6 13，又点P在第四象限，得到P(,)，这样就可以很容易得到本322

与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。

第五部分——巩固练习

练习1.求7的三角函数值. 6练习2.已知角终边上的一点(-12，5)，求角的三角函数值.

第六部分——小结与作业

课堂总结：本堂课我们学习了任意角三角函数的定义，目的是为了建立三角函数的对应关系，重点掌握用定义求三角函数值：

（1）

若已知角终边上任意一点（原点除外）坐标，采用第一定义求三角函数值；

（2）

若已知角的大小，则采用第二定义求三角函数值。

作业：

课后习题

：1、P15 练习 3；（必做） 2、P20习题1.2 A组 2.（选做）

课后作业：课时作业（第三课时）

七、教学反思

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.

注重对锐角三角函数的自然推广，得到了一种理想的周期变化规律，体现了特殊到一般的数学思想；

2.

紧扣课程标准的要求，突出单位圆的作用。我们对锐角三角函数自然推广得到了任意角三角函数的第一定义，再利用单位圆对第一定义作特殊化处理，得到任意角三角函数的第二定义，目的是为了更加方便处理问题，研究任意角三角函数的内在规律。第一定义是对锐角三角函数的自然推广，但相比不利于问题研究；

3.

情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

4.

通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。

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