阅读与思考 割圆术教案1

一、教学分析：

【教学内容分析】

圆是数学基础教育阶段经常接触到的一种图形，与圆有关的知识在小学，初中，高中均占有很大的比重.而与圆关系最为密切的是圆周率.从人类数学历史发展来看，很多数学家为圆周率的计算付出了很多心血，甚至一度认为一个国家所算得圆周率的准确程度，可以作为衡量国家当时数学发展水平的指标.本节课内容《割圆术》就是一种求圆周率的方法.本内容位于高中数学必修3（人教A版）第一章的阅读与思考部分，而在人教B版教材中，将本内容置于《算法案例》的正文部分，可见该内容以其文化价值和算法思想而表现出的地位与作用不容忽视.学习本内容的教育价值体现在以下四个方面：

1.有助于学生感受数学的文化价值.数学是人类文化的重要组成部分，正如高中新课程标准提到的，数学课程应适当反应数学历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.刘徽的“割圆术”在人类历史上是一颗耀眼的明珠，为后人研究数学提供了先进的思想方法，促进了数学的发展，这就是数学的文化价值.所以，学生通过本节课的学习，学生将从刘徽的思想中体悟到数学文化的价值与作用.

2．有助于学生进一步体会算法思想的精髓.“割圆术”是计算圆周率的一种方法，其内容充分的阐述了中国古代算法体系中的思想，而算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的重要基础，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入生活的方方面面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养.本节课将沿着我国古代著名数学家刘徽的步伐和学生一起探讨了“割圆术”算法思想，在前面学习基础上，进一步体会算法思想的核心以及算法的重要性与有效性.

3.有助于培养学生的数学思维能力，促进数学基本素养的形成.高中数学课程标准理念第四条提到，要注重提高学生的数学思维能力，而提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思建构等思维活动过程.这些过程正是数学思维能力的具体体现，本节课学生将从“割圆术”的操作步骤中体会其中蕴含的数学思维模式，并进行思考和做出判断，从而达到提高思维能力的目的.

4.有助于激发学生的学习兴趣.兴趣是最好的老师，激发了学生的学习兴趣，学生便能集中注意力，在有趣、有疑、有乐、有情、有劲的状态下学习.数学史作为具有理性魅力的题材，对于开阔学生的眼界、启迪数学思维和进一步奠定数学基础是十分重要的.而割圆术作为一段史实，记载了人类揭开世界奥秘和令人兴奋的探索历程，以其内容丰富性，思想先进性，思维严密性，将有助于增强学生学习动机，建立良好的情感体验，对日常数学学习起到积极促进作用.

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【教学对象分析】

本节课《割圆术》是普通高中课程标准实验教科书·数学必修3（人教A版）中第一章《算法初步》第三节《算法案例》“阅读与思考”部分的内容.学生在学习本节课内容之前已经学习了三个算法案例，并且通过之前关于程序框图、基本算法语句等内容的学习，学生已具备一定的算法步骤、程序框图、阅读程序等基础知识，这对进一步体会“割圆术”的文化价值以及学习其中的算法思想有积极促进作用. 数学是人类文化的组成部分.高中数学教学很长时间内对数学与实际、数学的应用价值、文化价值予以的重视度不够，不利于学生形成正确的数学观.学生在学习本节课之前，对于圆周率的求法没有直接经验，绝大多数只是停留在感性认识上，而没有予以充分的思考.本节课致力于培养学生的学习兴趣，以及正确的数学历史观，为形成正确的数学观打下基础.另一方面，“割圆术”作为一个新的算法案例，因其思想性超前、逻辑性严密不易于学生理解，学生对割圆术的原理会产生似懂非懂的现象.在义务教育阶段，学生在小学学习过圆的周长面积公式，圆周率的定义方式；在初中阶段，主要接触了圆心角、圆周角、正多边形和圆，弧长和扇形的面积，主要采用了思辨论证的方式；并且在拓展性材料中，讲圆周率，刘徽、祖冲之、祖暅求圆周率的方法，以及求得的圆周率这个事实，但是没有给出具体的详细的过程.这些学习经验为该部分知识奠定了基础. 综上，学生正确的数学观的形成、数学文化价值的教学都是一个循序渐进的过程.有学生义务教育阶段的学习经验以及前面算法案例的学习作为基础，如果教师在本内容思想性上加以引导、启发，学生对于“割圆术”的认识将有全面的提升，部分学生还能加以迁移、整合.

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二、教学设计：

【教学目标】

（1）能根据“割圆术”中蕴含的数学原理，理解其中的“算理”.通过现代教育技术呈现“割圆术”内外逼近过程，感受算法的合理性.发展直观想象素养；

（2）能找出算法的迭代关系，发展逻辑推理、数学建模素养；

（3）体会“割圆术”中包含的数学思想方法，感知其中的奥妙.认识中国古代数学对数学发展的贡献；

【教学重点】“割圆术”的“算理”及蕴含的迭代思想. 【教学难点】“割圆术”中内外逼近的极限思想以及算法实现过程中递推关系的建立.

【教学方法】启发式教学.

【教学手段】PPT.

【教学流程】

设计意图：以电影素材为背景，激发学生的学习

创设情境

兴趣，有效地启发学生的思维，自然而然地引出

激发兴趣

课题，顺理成章地进入教学下一环节．

直观感知

设计意图：从刘徽的注解中体会思想，并通过几

体会思想

何画板演示，直观感受，并形成整体认识.

设计意图：根据“割圆术”具体操作步骤，启发

分析算法

引导学生分析算法原理，找出迭代关系式，并通

得出结论

过程序验证刘徽算法的准确性.层层递进，逻辑

严密.

设计意图：回顾“割圆术”操作步骤，提炼思想归纳总结

方法，并提供新思路，新方向，激发学生“再学提炼升华

习”的欲望，体现新课标的理念. 深化认识

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【教学过程】

教师活动

（一）

创

创

设

【创设情境】

播放电影《少年派的奇幻漂流》中主人公自演示

情

境

我介绍片段，提出以下问题：

设疑

，

问题1：提到圆周率π，你能想到什么？

激

设问：圆周率是怎么求出来的？

启发

发

顺势引出本节课课题《割圆术》. 兴

趣

教 学 内 容

教学环节

学生活动

倾听

思考

设

计

意

图

视频取材于学生熟悉的电影片段，吸引学生注意力，激发学生学习兴趣和求知欲，带着问题进入下一环节

介绍刘徽关于内逼近、外逼近的论述，学生体会其中的奥秘之处；用几何画板将原本抽象的逼近过程通过动态演示转化为形象的直观感知，对其思想形成整体印象.

从具体操作步骤中理解“割圆术”的具体内涵，体会无限分割、内外夹逼、极限等思想方法

【内逼近】

“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆和体，而无所失矣.”

（二）

【外逼近】

直

“觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出弧观

表。若夫觚之细者与圆合体，则表无余径，则幂介绍

理解

感

不外出矣.”

知

演示

体会

，

体

引导

感知

会

思

想

陈述

设疑

思考

判断

【具体操作步骤】

（1）从圆内接正六边形开始，逐步加倍圆内接（三）

正多边形边数（设为2n）; 分

析

（2）依次计算正多边形面积，S6,S12,S24,,S2n

算

（3）过正多边形的每条边向外做高为余径的矩法

形；

，

问题2：你能从图形中找出关于面积之间的不等得

关系吗？

出

引导分析，得出结论：

结

S2nSS2n(S2nSn)

论

n,SS2n

【分析算法】

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长为xn，面积为Sn；则正2n边形的边长为x2n，

面积为S2n；

确立目标

（求正2n

引导，分析，设疑，得出递推关系：

边形的面

积），引导学问题3：你能找到hn、x2n的表达式吗？

生由勾股定

理得出递推x1S2nSnnxn(1hn)n6；hn1(n)2

引导

关系，进而22

观察

计算圆周率x分析

近似值，层x2n(n)2(1hn)222hn(n6)

2

思考

层递进，步进而得出圆周率的近似值：

启发

步为营，逻

计算

辑严密，并3 S3 S3.106 

S661224验证

用计算机验4刘徽求出正一百九十二边形的面积，得出圆周

证刘徽得出率为3.14的结论，化成分数157/50,这就是著

的结论，体名的徽率.

会用计算机【程序框图与语句】

研究数学问题带来的方便.

设圆的半径为1，弦心距为hn，正n边形的边

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总结

回顾

（四）

【总结提炼】

归

纳

总

结

，

提

炼

升

华

【板书设计】

割圆术

一、定义、原理 三、思想方法

内逼近 以直代曲

外逼近 无限趋近

内外夹逼

二、

步骤

附录：对应教材

提炼

体会

总结回顾启发

“割圆术”的操作步骤与算理，提炼思想方法，并指明新方向，新思路，引起学生“再学习”的欲望，增强学习动机. 内逼近 以直代曲

割圆术 无限趋近

外逼近 内外夹逼

几何

微积分

概率

......

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