习题第二课时教案

竖直面内的圆周运动教学设计

赵远云

教学目标

1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型。

2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析。

3.学会分析圆周运动问题的一般方法。

教学任务：竖直面内圆周运动的两种模型

[模型分析]如图所示，长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g。试分析：

核心凝炼

2种模型——“轻绳(过山车)”模型、“轻杆(管道)”模型

3种临界问题——绳的弹力、支持面的弹力与静摩擦力相关的临界问题

(1)小球过最高点的最小速度是多大？

(2)假设绳拉球过最高点时最小速度小于gL，则会产生什么样的后果？

(3)将细绳换为轻杆，小球还在竖直面内做圆周运动。试分析：

①当小球过最高点的速度v

②当小球过最高点的速度是v＝gL时，杆对球的作用力是多大？

③当小球过最高点的速度v>gL时，则杆对球作用力的大小和方向是怎样的？

[探究归纳] 1.过最低点：小球运动到最低点时受向上的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力充当v2向心力，N－mg＝m。

r2.过最高点：在最高点时的受力特点可分为以下两种

模型

细绳牵拉型的圆周运动

小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图所示

小球恰好过最高点：弹力(或拉力)为零，重力充当向心力，mg＝临界条件

最高点受力分析

v>gR时，绳或轨道对小球产生向下的拉力或压力

v2m，可得：

R临界速度v＝gR

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v＝gR时，绳或轨道对小球刚好不产小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图所示

生作用力

v

在竖直平面内做圆周运动，小球没有到达最高点就脱离了轨道

小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，如图所示

轻杆支撑型的圆周

小球在竖直放置的光滑细(1)小球恰好过最高点：由于杆和管能对小球产生向上的支持力，故小球在竖直面内做圆周运动的临界条件是最高点的速度恰好为零。

(2)杆对球的弹力恰好为零，此时小球只受重力，重力充当向心力，2

v>gR 时，杆或管的上侧产生向下的拉力或压力

v＝gR 时，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力

运动

管内做圆周运动，如图所示

vmg＝m，可得：临界速度v＝gR

0≤v

[试题探究] 1、轻绳、单轨问题

的支持力

例题1：.如图所示，在杂技表演“水流星”中，细绳两端系有装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，水到转动轴的距离L＝0.8 m。求：(取g＝10 m/s) (1)水桶经过圆周最高点时水不流出来的最小速率。

(2)水桶在最高点的速率v1＝5 m/s时，水对桶底的压力大小。

(3)若桶和水的总质量M＝1 kg，水桶经过最低点时的速率v2＝6.5 m/s，则此时绳子的拉力是多大？

[针对训练1]杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量2

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为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(不计空气阻力，g＝10 m/s)(

) A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零

C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用

D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N [针对训练2如图所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端加盖与水平轴O连接。试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动。(g取10 m/s)求：

(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍；

(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？

2、轻杆、双轨问题

例题2．长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g＝10 m/s)。

(1)A的速率为1 m/s；

(2)A的速率为4 m/s。

[针对训练3](多选)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法错误的是(

）

A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B．小球过最高点的最小速度是零

C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

[针对训练4]如图所示，质量为m的小球固定在长为L的细轻杆的一端，绕细杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动，不计空气阻力。小球转到最高点A时，线速度222v的大小为gL2，此时(

) A.杆受到1.25mg的拉力 B.杆受到1.25mg的压力

C.杆受到0.75mg的拉力 D.杆受到0.75mg的压力

[针对训练5]质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示。已知小球以速度v通过最高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时(

) 2v

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A．小球对圆管的内、外壁均无压力 B．小球对圆管的外壁的压力等于

2C．小球对圆管的内壁压力等于 D．小球对圆管的内壁压力等于mg

2方法总结：竖直平面内圆周运动的分析方法

(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。

(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。

(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。

课后作业：[反馈练习]：

1.(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是(

) A.小球通过最高点时的最小速度是Rg

B.小球通过最高点时的最小速度为零

C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力

D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力

2.如图所示，有一长L＝0.4 m的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴有质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动，已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离L1＝0.65 m，重力加速度g＝10 m/s，不计空气阻力。

(1)求小球通过最高点A时的速度大小。

(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球的落地点到C点的距离。

3.如图所示，一个小球质量为m，从半径为R的光滑圆形管内的顶部A点水平飞出，恰好又从管口B点射入管内，已知O为圆心，且OB水平，OA竖直，则：

(1)小球在A点对上侧管壁有弹力作用还是对下侧管壁有弹力作用？作用力多大？(重力加速度为g) (2)若要使小球对上侧管壁弹力大小等于重力，则小球在A点的速度应为多少？

2mgmg

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