2.1.2 系统抽样教学设计(第一课时)

2．1.2 系统抽样

1．问题导航

(1)什么是系统抽样？

(2)系统抽样与简单随机抽样有什么关系？

(3)系统抽样的特点是什么？

2．例题导读

对“探究”内容的导读：除了用简单随机抽样获取样本外，还可以设计系统抽样来抽取样本；

对“思考”内容的导读：从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想，从而，系统抽样能提高样本的代表性．

1．系统抽样的概念

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法就是系统抽样．

2．系统抽样的步骤

一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：

(1)编号：先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．

(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝. (3)确定第一个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．

(4)成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

1．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是(

) A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动

B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本

C．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况

D．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况

解析：选C.A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法．故选C.

- 1 - NnNn

2．为了对生产线上的产品质量进行检验，质检人员每隔5分钟抽一件产品进行检验，这种抽样方法是________．

解析：可看作是等距离的系统抽样．

答案：系统抽样

3．从1 003名学生的成绩中，按系统抽样抽取50名学生的成绩时，需先剔除3个个体，这样每个个体被抽取的可能性就不相等了，你认为正确吗？

解：不正确．因为总体个体数不能被50整除，需剔除3个个体，按照简单随机抽样的方3法，在总体中的每个个体被剔除的概率是相等的，都是，每个个体不被剔除的概率也是1 0031 000相等的，都是；在剩余的1 000个个体中，采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是1 003501 0005050，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍相等，都是×＝.所1 0001 0031 0001 003以系统抽样是公平的、均等的．

1．在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：

(1)采用随机的方法将总体中个体编号；

(2)将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；

(3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；

(4)按照事先预定的规则抽取样本．

2．在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当不是整数时，应采用等可能剔除的方法剔除部分个体，以获得整数间隔k.

系统抽样的概念

某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额．采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，…抽出，发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(

) A．抽签法 B．随机数法

C．系统抽样法 D．其他的抽样方法

[解析] 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张．从第一组抽取15号，以*后各组抽取15＋50n(n∈N)号，符合系统抽样的特点．

[答案] C [互动探究] 本例中的分段间隔为多少？

解：因为15号， 65号，115号，165号，…每两个之间的间隔为50，所以分段间隔为

- 2 - Nn

50. 方法归纳

判断一种抽样是否是系统抽样，首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样方法能否保证每个个体按事先规定的可能性入样，再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在第一个部分中进行简单随机抽样．

1．下列抽样中不是系统抽样的是(

) A．从标有1～15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i，以后为i＋5，i＋10(超过15则从1再数起)号入样

B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔十分钟抽一件产品检验

C．进行某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止

D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈

解析：选C.C不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样．

系统抽样的方案设计

中国机动车呈现几何增长，城市交通压力日益增大．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？

[解] 交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．

改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．

如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8. 方法归纳

(1)系统抽样的样本距相等，本题中第一次抽取的是星期日，则以后抽取的都应是星期日，这可能会使样本产生误差．

(2)系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，如果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差．

2．(1)某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

解：按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生．采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一

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名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k＋5L(L＝0，1，2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当k＝3时的样本编号为3，8，13，…，288，293. (2)某工厂有1 002名工人，从中抽取20人参加体检．试用系统抽样进行具体实施．

解：第一步，将每个人编号，从0 001至1 002. 第二步，利用随机数表法找到2个号，将这2个号所对应的2个人剔除．

第三步，重新编号，从1至1 000. 1 000第四步，分段，取分段间隔k＝＝50，

20所以1至50为第1段．

第五步，在第1段内用简单随机抽样确定第1个样本号码k. 第六步，将编号为k，k＋50，k＋100，…，k＋950，共20个号码选出．

这20个号码所对应的人组成一个样本．

系统抽样的综合运用

某集团有员工1 019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员有990人，该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人，如何确定人选？

[解] 获得过国家级表彰的人员人选为5人，适宜使用抽签法；其他人员选30人，适宜使用系统抽样．

(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：

①用随机方式给29人编号，号码为1，2，…，29；

②将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；

③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；

④从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；

⑤从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．

(2)确定其他人员人选：

第一步：将990名其他人员重新编号(分别为0，1，…，989)，并分成30段，每段33人；

第二步：在第一段0，1，…，32这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；

第三步：将编号为3，36，69，…，960的个体抽出，人选就确定了．

由(1)，(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．

方法归纳

系统抽样与简单随机抽样的对比：

(1)总体容量较大，抽取样本较多时，系统抽样比简单随机抽样更易实施，可节约成本．

(2)系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与个体编号无关．

(3)系统抽样的实质是简单随机抽样．

(4)系统抽样比简单随机抽样应用更广泛．

3．某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．

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解：具体过程如下：

①先把这253名学生编号为001，002，…，253. ②用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．

③把余下的250名学生重新编号为1，2，…，250. ④分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生．

⑤从第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l. ⑥从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．

这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．

规范解答

系统抽样问题的操作步骤

(本题满分12分)某单位在职职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取10%的工人进行调查，试采用系统抽样方法抽取所需的样本．

[解] 系统抽样的步骤：

第一步，将624名职工用随机方式进行编号．2分

第二步，从总体中用随机数表法剔除4人4分

将剩下的620名职工重新编号(分别为0，1，2，…，619)，并分成62段.6分

第三步，在第一段0～9中用简单随机抽样确定起始号码l.8分

第四步，将编号为l，l＋10，l＋20，…，l＋610的个体抽出，组成所需的样本．12分

[规范与警示] 编号时应均为三位数，切不可1位、2位、3位数都有．

用随机数表法剔除4人，每人被剔除的可能性相等．

被抽出个体的编号应从第二个号码开始每一个号码都比前一个号码大10. 根据样本容量计算分段间隔时，总体中的个体数如果正好能被样本容量整除，则可以用它们的比值作为进行系统抽样的间隔．如果不能被整除，则可以用简单随机抽样的方法从总体中剔除部分个体，剔除的个数为总体中的个体数除以样本容量所得的余数．然后再编号、分段，确定第一段的起始(号码)，进而确定整个样本．

1．(2014·高考广东卷)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(

) A．50 B．40 C．25 D．20 1 000解析：选C.根据系统抽样的特点可知分段间隔为＝25，故选C. 402．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是(

) A．随机抽样 B．分层抽样

C．系统抽样 D．以上都不是

解析：选C.因为所抽取学生的学号依次相差5，即为等距离抽样，属于系统抽样．故选C. 3．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：1，2，3，…，1 000，从中抽取一个容量

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为50的样本，按系统抽样方法分成50部分，如果第一部分编号为1，2，3，…，20，第一部分随机抽取的一个号码为15，则抽取的第40个号码为________．

解析：抽取的第40个号码为15＋(40－1)×20＝795. 答案：795

[A.基础达标] 1．为了检查某城市汽车尾气排放执行情况，在该城市的主要干道上抽取车牌末尾数字为5的汽车检查，这种抽样方法为(

) A．抽签法

B．随机数表法

C．系统抽样法 D．其他抽样

解析：选C.符合系统抽样的特点．

2．中央电视台“动画城节目”为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样的方法抽取，每段容量为(

) A．10 B．100 C．1 000 D．10 000 解析：选C.将10 000个个体平均分成10段，每段取一个，故每段容量为1 000. 3．(2015·罗源高一检测)为了了解一次期终考试的1 253名学生的成绩，决定采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是(

) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.1 253÷50＝25…3，故剔除3个．

4．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是(

) A．5，10，15，20，25，30 B．3，13，23，33，43，53 C．1，2，3，4，5，6 D．2，4，8，16，32，48 60解析：选B.＝10，∴间隔为10，故选B. 65．系统抽样又称为等距抽样，从N个个体中抽取n个个体为样本，抽样距为k＝(取整数部分)，从第一段1，2，…，k个号码中随机抽取一个号码i0，则i0＋k，…，i0＋(n－1)k号码均被抽取构成样本，所以每个个体被抽取的可能性是(

) A．相等的 B．不相等的

C．与i0有关 D．与编号有关

解析：选A.系统抽样是公平的，所以每个个体被抽到的可能性都相等，与i0编号无关，故选A. 6．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品1 201个、608个、216个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为________．

解析：因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按系统抽样法较为适合．

答案：系统抽样法

7．若总体中含有1 600个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为50的样本，则编号应均分为________段，每段有________个个体．

Nn

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1 600解析：＝32，∴均分为50段，每段32个个体．

50答案：50 32 8．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是________．

4848解析：由题意，分段间隔k＝＝12，所以6应该在第一组，所以第二组为6＋＝18. 44答案：18 9．(2015·烟台高一检测)从2 015名同学中，抽取一个容量为20的样本，试叙述系统抽样的步骤．

解：(1)先给这2 015名同学编号为1，2，3，4，…，2 015. (2)利用简单随机抽样剔除15个个体，再对剩余的2 000名同学重新编号为1，2，…，2 000. (3)分段，由于20∶2 000＝1∶100，故将总体分为20个部分，其中每一部分有100个个体．

(4)然后在第1部分随机抽取1个号码，例如第1部分的个体编号为1，2，…，100，抽取66号．

(5)从第66号起，每隔100个抽取1个号码，这样得到容量为20的样本：66，166，266，366，466，566，666，766，866，966，1 066，1 166，1 266，1 366，1 466，1 566，1 666，1 766，1 866，1 966. 10．实验中学有职工1 021人，其中管理人员20人．现从中抽取非管理人员40人，管理人员4人组成代表队参加某项活动．你认为应如何抽样？

解：先在1 001名非管理人员中抽取40人，用系统抽样法抽样过程如下：

第一步：将1 001名非管理人员用随机方式编号为1，2，3，…，1 001；

第二步：利用简单随机抽样从总体中随机剔除1人，将剩下的1 000名非管理人员重新编号(分别为1，2，…，1 000)，并分成40段；

第三步：在第一段1，2，…，25这25个编号中，用简单随机抽样法抽出一个(如5)作为起始号码；

第四步：将编号为5，30，55，…，980的个体抽出．

再从20个管理人员中，抽取4人，用抽签法，其操作过程如下：

第一步：将20名管理人员用随机方式编号，编号为1，2，…，20；

第二步：将这20个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成大小、形状相同的号签；

第三步：把得到的号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；

第四步：从盒子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号；

第五步：从总体中将与抽到的号签的编号相一致的个体取出．

由以上两类方法得到的个体便是代表队队员．

[B.能力提升] 1．为了了解运动员对志愿者服务质量的意见，打算从1 200名运动员中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段间隔为(

) A．40 B．30 C．20 D．12 1 200解析：选B.分段间隔为＝30. 402．在一个个体数目为2 015的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为62的样本，则总

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体中每个个体被抽到的机会为(

) A.C.1 2 01562 2 015B.1

62D．不确定

答案：C 3．将参加数学竞赛的800名学生编号为：001，002，…，800.采用系统抽样方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为006.这800名学生分在四个考点参加比赛，从001到200在第Ⅰ考点，从201到400在第Ⅱ考点，从401到500在第Ⅲ考点，从501到800在第Ⅳ考点，四个考点被抽中的人数依次为________．

解析：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔20个号抽到一个人，

则分别是006、026、046….故可分别求出在001到200号中有10人，在201至400号中共有10人，从401到500号中有5人，从501到800号中有15人．

答案：10，10，5，15 4．一个总体中有100个个体，随机编号为00，01，02，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1，2，3，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝5，则在第5组中抽取的号码是____________．

解析：由题意知第5组中的数为“40～49”10个数．由题意知m＝5，k＝5，故m＋k＝10，其个位数字为0，即第5组中抽取的号码的个位数是0，综上知第5组中抽取的号码为40. 答案：40 5．一个总体中的1 000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组抽取的号码的后两位数是x＋33k的后两位数．

(1)当x＝24时，写出所抽样本的10个号码；

(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位是87，求x的取值范围．

解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，第1组后两位数是24＋33＝57，所以第1组号码为157；k＝2，24＋66＝90，所以第2组号码为290，以此类推，10个号码为：24，157，290，323，456，589，622，755，888，921. (2)当k＝0，1，2，…，9时，33k的值依次为：0，33，66，99，132，165，198，231，264，297.又抽取的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以是87，54，21，88，55，22，89，56，23，90.所以x的取值范围是{21，22，23，54，55，56，87，88，89，90}．

6．(选做题)某电视机厂每天大约生产1 000台电视机，要求质检员每天抽取30台，检查其质量状况，假设一天的生产时间中生产电视机的台数是均匀的，请你设计一个调查方案．

解：可采用系统抽样，按下面的步骤设计方案：

1 000第一步：把一天生产的电视机分成30个组，由于的商是33，余数是10，所以每个30组有33台电视机，还剩10台，这时，抽样距为33. 第二步：先用简单随机抽样的方法从总体中抽取10台电视机，不进行检验．

第三步：将剩下的电视机进行编号，编号分别为0，1，2，…，989. 第四步：第一组(编号为0，1，2，3，…，32)的电视机中按照简单随机抽样的方法抽取1台电视机，比如说其编号为k. 第五步：按顺序抽取编号分别为下列数字的电视机：k＋33，k＋66，k＋99，…，k＋29×33，

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这样总共抽取了容量为30的一个样本，对此样本进行检验即可．

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