2.1.2 向量的几何表示优秀教学设计内容

第 1 课时：§2.1 向量的概念及表示

【三维目标】：

一、知识与技能

1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；

2.理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。

3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念

4.通过教师指导发现知识，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 二、过程与方法

1.通过实例，引导学生了解向量的实际背景，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；

2.通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质。

3.通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题. 三、情感、态度与价值观

1. 通过向量（包含大小、方向）概念的学习，感知数学美；

2.向量的方向包含正反两个方面，正反关系的对照培养学生辩证唯物主义思维. 【教学重点与难点】：

重点：向量、相等向量、共线向量的概念

难点：向量概念的理解及向量的几何表示. 【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主性学习+探究式学习法；

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 2.教法：

采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。

3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规. 【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

【问题1】：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：

（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；

（2）物体所受重力；

（3）物体的质量为a千克；

（4）1月1日的4级偏南风的风速。

【问题2】：上述的物理量中有什么区别吗？ A(起点) 二、研探新知

B （终点）

a

1．概念辨析 （1）向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量

（2）向量的表示：向量通常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的向量记为AB。向量也可以用小写字母a,b,c来表示。

（3）向量的大小及表示：向量AB的大小称为向量的长度（或称为模），记作|AB| （4）零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0

（5）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量

【思考】：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

②AB与BA是否同一向量？ 答：不是同一向量。

③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

【注意】：

1）强调学生书写向量时一定要带上箭头，这是学生最易犯的错，且错了很难改；

2）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

3）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 起点一定写在终点的前面。

4）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 0与0的含义与书写区别. 0的方向是任意的；

5）向量模是可以比较大小的。

【思考】：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？

2.关系探究

【问题】：在平行四边形ABCD中，向量AB与CD，AB与DC有什么关系？

B C A D a b c （1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若a,b,c是一组平行向量，则可以记作a∥b∥c.我们规定0与任一向量平行. （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。规定：0=0.若向量a与b

相等，记作a＝b

（3）相反向量：长度相同且方向相反的向量叫相反向量

（4）共线向量：任作一条与a所在直线平行的直线l,在l上取一点Ｏ，则可在l上分别作出OA=a,OB=b,OC=c．这就是说，任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．

C

O

B

A

（5）共线向量与平行向量关系

①平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段．．．．．的起点无关），要区别于两平行线的位置关系；

．．．．．．②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 【几点说明】：

1.向量有三个要素：起点、方向、长度；

2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小；

3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的。实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加；

4.向量a与实数a；

5.零向量0与实数0；

6.注意下列写法是错误的：a－a＝0；AB+BC+CA＝0；a＋0＝a；|a|－|a|＝0. 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 （教材P56例1）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在图2-1-6所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC相等吗？

变式一：与向量FE长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量FE长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量FE共线的向量有哪些？（CB，DO，FE）

例2 判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

B

O C A F D E

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3 （教材P56例2,详见教材）

四、巩固深化，反馈矫正 1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由

①向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上； ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定；

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确。如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同. 【评述】：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 2．下列各种情况中，向量的终点各构成什么图形？

（1）把所有单位向量平移到同一个起点．（一个半径为１的圆）

（2）把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一个起点．（两个点）

（3）把平行于某一直线的所有向量平移到同一个起点．（一条直线）

3.判断下列说法是否正确：

(1)若a=b，则a=b;变题：a=b，则a=b；

(2)若a∥b,则ab;变题：若ab，则a∥b；(3)若ab,bc,则ac;

(4)若a//b,b//c,则a//c.

五、归纳整理，整体认识

1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；（描述向量的两个指标：模和方向）

2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等向量的意

义。

3.向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 4.回顾本节所学向量的有关概念，构建知识结构图

向量的表示：a或AB

有向线段

向量

向量的大小

（长度、模）

零向量与

相等向量

单位向量

相反向量

向量的方向

平行向量

（共线向量）

六、承上启下，留下悬念 【探究】：如图，以13方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？

七、板书设计（略）

八、课后记：