2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案2

平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算

【知识梳理】

1．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．

3．向量i，j，0的坐标表示

i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

4．平面向量的坐标运算

加法

文字

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标

符号

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2) 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 已知向量AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则减法

数乘向量

重要结论

AB＝(x2－x1，y2－y1) 【常考题型】

题型一、平面向量的坐标表示

【例1】

已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．

[解]

由题知B、D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．

设B(x1，y1)，D(x2，y2)．

由三角函数的定义，得

x1＝cos 30°＝3131，y1＝sin 30°＝，∴B，. 222213x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，

2213∴D－，. 22

- 1 -

∴AB＝3113. ，，AD＝－，2222【类题通法】

求点和向量坐标的常用方法

(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．

(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．

【对点训练】

已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，

(1)求向量OA的坐标；

(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．

解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos 60°＝23，

y＝43sin 60°＝6，即A(23，6)，OA＝(23，6)．

(2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7). 题型二、平面向量的坐标运算

【例2】

(1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3AB＋2CA＝________，BC－2AB＝________. (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．

(1)[解析]

∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，

∴AB＝(1,5)，CA＝(4，－1)，

BC＝(－5，－4)．

∴3AB＋2CA＝3(1,5)＋2(4，－1) ＝(3＋8,15－2) ＝(11,13)．

BC－2AB＝(－5，－4)－2(1,5) ＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)．

[答案]

(11,13)

(－7，－14) (2)[解]

a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，

a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，

3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，

2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)

- 2 -

＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．

【类题通法】

平面向量的坐标运算技巧

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积)．

【对点训练】

若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝(

) A．(－2，－4)

C．(6,10)

B．(3,4) D．(－6，－10) 解析：选A

BC＝BA－CA＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4). 题型三、由向量相等求坐标

【例3】

(1)若a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，则p＝________，q＝________. (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求M，N及MN的坐标．

(1)[解析]

∵a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，

∴pa＋qb＝p(－1,2)＋q(1，－1)＝(－p＋q,2p－q)．

∵c＝pa＋qb，

－p＋q＝3，p＝1，∴解得

2p－q＝－2，q＝4.

故所求p，q的值分别为1,4. [答案]

1

4 (2)[解]

法一：由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

可得CA＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，

CB＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，

所以CM＝3CA＝3(1,8)＝(3,24)，

CN＝2CB＝2(6,3)＝(12,6)．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则CM＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20；

CN＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2，

- 3 -

所以M(0,20)，N(9,2)，

MN＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．

法二：设点O为坐标原点，则由CM＝3CA，CN＝2CB，

可得OM－OC＝3(OA－OC)，ON－OC＝2(OB－OC)，

从而OM＝3OA－2OC，ON＝2OB－OC，

所以OM＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，

ON＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)，

即点M(0,20)，N(9,2)，

故MN＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．

【类题通法】

坐标形式下向量相等的条件及其应用

(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．

(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．

【对点训练】

已知a＝AB，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．

解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，

∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，

即a＝(－7,10)＝AB. 又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则AB＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，

1－x＝－7，x＝8，∴⇒

0－y＝10y＝－10，

即A点坐标为(8，－10)．

【练习反馈】

1．已知AB＝(－2,4)，则下面说法正确的是(

) A．A点的坐标是(－2,4) B．B点的坐标是(－2,4) C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4) 解析：选D

由任一向量的坐标的定义可知．当A点是原点时，B点的坐标是(－2,4)．

2．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝(

) A．(6,3)

B．(7,3) - 4 -

C．(2,1)

D．(7,2) 解析：选B

∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，

∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．

3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则AB＋2BC＝________. 解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，

∴AB＝(2,3)，BC＝(－3,3)．

∴AB＋2BC＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．

答案：(－4,9) 4．已知a＝(3,4)，点A(1，－3)，若AB＝2a，则点B的坐标为________．

解析：设点B的坐标为(x，y)，

则AB＝(x－1，y＋3)，2a＝(6,8)，

x－1＝6，x＝7，若AB＝2a，则∴

y＋3＝8，y＝5.

答案：(7,5) 5．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，

(1)点P在第一、三象限角平分线上？

(2)点P在第三象限内？

解：设点P的坐标为(x，y)，

则AP＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

AB＋λAC＝(5－2,4－3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．

∵AP＝AB＋λAC

(λ∈R)，

∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

x－2＝3＋5λ，∴

y－3＝1＋7λ，x＝5＋5λ，∴∴P(5＋5λ，4＋7λ)．

y＝4＋7λ，

(1)若点P在第一、三象限角平分线上，

1则5＋5λ＝4＋7λ，故λ＝. 25＋5λ<0，(2)若点P在第三象限内，则

4＋7λ<0，

- 5 -

λ<－1，解得

4λ<－，7故λ<－1，即只要λ<－1，点P在第三象限内．

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