原（逆）命题、原（逆）定理课件配套优秀获奖教案

17.2

勾股定理的逆定理

第1课时

勾股定理的逆定理(1)

1．掌握直角三角形的判别条件．

2．熟记一些勾股数．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

重点

探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．

难点

归纳猜想出命题2的结论．

一、复习导入

活动探究

(1)总结直角三角形有哪些性质；

(2)一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？

生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．

师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？

生1：如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．

生2：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．

师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？

问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形．

画画看，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系：2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试．

生1：我们不难发现上图中，第1个结到第4个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因为32＋42＝52，所以我们围成的三角形是直角三角形．

生2：如果三角形的三边长分别是2.5 cm，6 cm，6.5 cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5 cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52. 再换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三角形，可以发现8.5 cm的边所对的角是直角，且有42＋7.52＝8.52. 师：很好！我们通过实际操作，猜想结论．

命题2

如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

再看下面的命题：

命题1

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 它们的题设和结论各有何关系？

师：我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫

做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．

二、例题讲解

【例1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

(1)同旁内角互补，两条直线平行；

(2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；

(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

(4)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．

分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用；

(2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假．

解略．

三、巩固练习

教材第33页练习第2题．

四、课堂小结

师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？

学生发言，教师点评．

本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学．根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想．设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解和掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人．将目标分层后，满足不同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的．

第2课时

勾股定理的逆定理(2)

1．理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法．

2．理解逆定理、互逆定理的概念．

重点

勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念．

难点

理解互逆定理的概念．

一、复习导入

师：我们学过的勾股定理的内容是什么？

生：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 师：根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

师：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？

师生行为：

让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路．

师：△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？

我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如图)，把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？

生：我们所画的Rt△A′B′C′，(A′B′)＝a＋b，又因为c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c. △ABC和△A′B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC为直角三角形．

即命题2是正确的．

师：很好！我们证明了命题2是正确的，那么命题2就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理．

师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？

生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．

师：你还能举出类似的例子吗？

生：例如原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．

逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．

显然原命题成立，而逆命题不一定成立．

二、新课教授

【例1】教材第32页例1 【例2】教材第33页例2 【例3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？

222

分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．

解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．

在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．

因此这个零件符合要求．

三、巩固练习

1．小强在操场上向东走80 m后，又走了60 m，再走100 m回到原地．小强在操场上向东走了80 m后，又走60 m的方向是________．

【答案】向正南或正北

2．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，求甲巡逻艇的航向．

11【答案】解：由题意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.6060

又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向为北偏东50°. 四、课堂小结

1．同学们对本节的内容有哪些认识？

2．勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．

本节课我采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养．