阅读与思考 向量及向量符号的由来名师教学设计

2.4.1平面向量共线的数量积的物理背景以及含义（第一课时）

【学习目标】

（1）通过物理中的“功”等实例，理解平面向量的数量积的含义及其物理意义；

（2）掌握向量的数量积公式及投影的定义. 【重点难点】

1.

平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量夹角；

2.

平面向量数量积的应用（判断三角形形状，求夹角）

【自学导引】

1.

已知两个______向量a,b，我们把_____________________叫a与b的数量积.（

或___________ ），记作_______________；

即ab______________________________，其中是a与b向量的夹角，___________叫做向量a在b方向上的_____________ 2.零向量与任意向量的数量积为___________________ 3.平面向量数量积的性质：设a与b均为非零向量：

①ab______________ ②当a与b同向时，ab__________，当a与b反向时，ab__________，特别地，aa________或a=__________ ③设a与b的夹角为，则满足cos=______________ ④ab=______________ 4.ab的几何意义:________________________

1

【典型例题】

题型一

向量数量积概念的理解

例1 已知a4,b5,ab10，求a与b的夹角.

例2 判断正误，并说明理由

（1）在ABC中，若ABBC0，则ABC为钝角三角形；

（2）在ABC中，若ABBC0，则ABC为钝角三角形；

（3）ABC为直角三角形的等价条件是ABBC0；

题型二

向量数量积的运算

0例3 已知a4，b3,当满足（1）a//b；（2）ab；（3）a与b的夹角为60

分别求a与b的数量积.

2

例4 在等腰三角形ABC中，ABAC2,ABC300，D是BC的中点，求BA在CD方向上的投影.

题型三

向量数量积的运用

例5 （1）点O是三角形ABC所在平面内一点，满足：OAOBOBOCOCOA则点O是ABC的

A.

内心 B. 外心 C. 重心 D.垂心

（3）O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABAC，则点P的轨迹一定通过ABC的

OPOA,0，ABcosBACcosCA.

内心 B. 外心 C. 重心 D.垂心

例6 已知ABC为等边三角形，AB2，设点P,QAPAB,AQ1AC,R,若BQCP3，则

2A.

112110-322 B. C. D.

2222

例7 设i,j是平面直角坐标系（O为坐标原点）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA2ij,OB4i3j，则OAB的面积等于______________

3

【随堂练习】

1.

判断正误：

（1）若a0，b0，则ab0；

（2）若a0，ab0，则b0；

（3）若a0，abac，则bc；

22（4）对任意向量a，有aa

AD4，若点M,N满足BM3MC，,2.

设四边形ABCD为平行四边形，AB6，DN2NC,则AMNM

A.

20 B.15 C. 9 D.6

3.

已知a,b,c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数=_____ 34.

设向量a,b满足a1,b1，且a与b具有关系kab3akbk0

（1）a与b垂直吗？

（2）若a与b的夹角为60，求k的值

05.

在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，CP2PD

（1）若四边形ABCD是矩形，求APBP的值；

（2）若四边形ABCD为平行四边形，且APBP6，求AB与AD夹角的余弦值.

4