2.3.1 变量之间的相关关系教学设计一等奖

2、3、2线性回归方程

教案编写者：数学教师高翠

某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：

气温/℃

杯数

26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64 如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程. 一、【学习目标】

1、理解相关关系，能判断两个变量之间是否是相关关系；

2、会求线性回归方程，理解其真正含义（估计）. 【教学效果】：教学目标的给出有利于学生整体把握课堂.

二、【自学内容和要求及自学过程】

阅读教材86—89页内容，回答问题（回归直线方程）

<1>请你说出作散点图的步骤和方法. <2>请你说出正、负相关的概念. <3>什么是线性相关？

<4>看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？

<5>什么叫做回归直线？

<6>如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？

结论：<1>建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）

<2>如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关. <3>如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系. <4>大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析. <5>如下图；从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线

1

(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表. <6>从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线. 那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢? 有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗? 有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗? 还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距. 同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行? （学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：

上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强. 实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式

2

n(xix)(yiy)i1bn(xix)2i1aybx.xyii1ni1ninxy,(1)

xi2nx2其中，b是回归方程的斜率，a是截距. 推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，且所求回归方程是y=bx+a,其中a、b是待定参数.当变量x取xi(i=1,2,…,n)时可以得到y=bxi+a(i=1,2,…,n),它与实际收集到的yi之间的偏差是yi-y=yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n). 这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（yi-y）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用^^^^|yi1niyi|^来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用222Q=(y1-bx1-a)+(y2-bx2-a)+…+(yn-bxn-a) ②来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差. 这样，问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b的值由公式①给出. 通过求②

式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square）. 【教学效果】：理解线性回归的真正内涵. 三、【综合练习与思考探索】

例1

有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：

温度/℃

-5 0 4 7 12 15 19 23 89 27 93 31 76 36 54 热饮杯数

156 150 132 128 130 116 104 （1）画出散点图；

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；

3

（3）求回归方程；

（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.

结论：（1）散点图如下图所示：

（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少. （3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程y=-2.352x+147.767. (4)当x=2时，y=143.063.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.

思考：气温为2 ℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？

这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：

1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差. 2.即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x的预报值，能够与实际值y很接近.我们不能保证点（x,y）落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，y=bx+a+e=y+e. 这里e是随机变量，预报值y与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差所决定. 一些学生可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热饮，那么为什么我们还以“这天大约可以卖出143杯热饮”作为结论呢？这是因

4 ^^^^

为这个结论出现的可能性最大.具体地说，假如我们规定可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143和144能够保证预测成功（即实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大. 例2

下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料. 机动车辆数x／千台

交通事故数y／千件

95 6.2 110 7.5 112 7.7 120 8.5 129 8.7 135 9.8 150 10.2 180 13 (1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；

(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.

结论：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．

(2)计算相应的数据之和：

xi18i=1 031，yi18i=71.6, xi182i=137 835，xyii18i=9 611.7. 将它们代入公式计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1. 【教学效果】：通过练习巩固新知. 四、【作业】

1、必做题：习题2.3A组3、4,B组1、2；

2、选做题：完成课后练习.

五、【小结】

本节课主要学习了两个内容1o求线性回归方程的步骤：（1）计算平均数x,y；

(2)计算xi与yi的积，求∑xiyi; (3)计算∑xi2,∑yi2，

5

n(xix)(yiy)i1bn(4)将上述有关结果代入公式(xix)2i1aybxxyii1ni1ninxy,

xi2nx2求b,a,写出回归直线方程．

o2经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 六、【教学反思】

因材施教说起来很容易，事实上很难.教师要认识自己的学生，真正的认识自己的学生，才能使你的学生进步. 七、【课后练习】

1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）

A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积

C.正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高

答案：Ｄ

2、三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ）

A.y=5.75-1.75x

B.y=1.75+5.75x

C.y=1.75-5.75x D.y=5.75+1.75x 答案：Ｄ

3、已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元）,有如下统计资料：

使用年限x 维修费用y 2 2．2 3 3．8 4 5．5 5 6．5 6 7．0 ^^^^ 设y对x呈线性相关关系．试求：

（1）线性回归方程y=bx+a的回归系数a,b；

（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？

答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38. 4、我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下：

模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e．

6 ^

（1）如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值；

（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．

解：（1）模型1：y=6+4x=6+4×3=18；

模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.

（2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是确定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型．

5、以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据：

房屋大小x2（m）

销售价格y（万元）

80 18.4 105 22 110 21.6 115 24.8 135 29.2 （1）画出数据的散点图；

（2）用最小二乘法估计求线性回归方程.

解：（1）散点图如下图.

（2）n=5,xi15i=545,x=109,5yi15i=116,y=23.2, xi152i=60 952,xyii1i=12 952, b=512952545116≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509,

5609525452所以,线性回归方程为y=0.199x+1.509．

6、下列关系中，是带有随机性相关关系的是

①

正方形的边长面积之间的关系；

②

水稻产量与施肥量之间的关系

③

人的身高与年龄之间的关系

④

降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 答案：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有机性的相关关系.①正方

7

形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②、④. 7、现随机抽取某校10名学生在入学考中的数学成绩X与入学后的第一次数学考试成绩Y，数据如下：

学号

X Y 1 120 84 2 109 64 3 84 4 68 5 103 69 6 110 68 7 69 8 46 9 57 10 108 71 117 104 104 105 99 问这10名同学的两次数学考试成绩是否具有相关关系？

答案：应用散点图分析，（图略）这10名同学的两次数学考试成绩具有相关关系. 8、在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）

A、（1）（2） B、（1）（3） C、（2）（4） D、（2）（3）

9、线性回归方程ybxa必过[ ] A、（0，0）点 B、（x，0）点 C、（0，y）点心 D、（x,y）点

10、设有一个直线回归方程为y=2－1.5x, 则变量x增加一个单位时

A、y平均增加1.5个单位于 B、y平均增加2个单位

C、y平均减少1.5个单位 D、y平均减少2个单位

10、下列变量之间的关系是相关关系的是

. ①

球的体积与半径的关系；

②

动物大脑容量的百分比与智力水平的关系；

③

人的年龄与体重之间的关系；

④

降雨量与农作物产量之间的关系. 11、要分析学生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了10名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：

学生编号

1 2 3



4 5 6 7 8 9 10 8

入学成绩X 期末成绩Y 63 67 45 88 81 71 52 99 65 78 52 82 92 89 73 98 58 76 56 75 （1）若变量X与Y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程. （2）若某学生的入学成绩为80分，试估计他的期末成绩；

9