2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学评价实录

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3

平面向量的坐标运算

1．平面向量的坐标表示

（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．

（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝__________，则____________叫做向量a的坐标，____________叫做向量的坐标表示．

→（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA＝__________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，→则AB＝__________. 2．平面向量的坐标运算

（1）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝____________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

（2）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

（3）若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

3．向量共线的坐标表示

abx1y2x2y10

→→例1．已知直角坐标系内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，把向量AB按向量a＝(m，n)平移至A′B′的位置．求：（1）点A′，B′的坐标；

→（2）向量A′B′的坐标．

识点1：平面向量的坐标运算

例2．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求

→→（1）AB－AC；

→→（2）AB＋2BC；

→1→（3）BC－AC. 2

例3．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

（1）2a＋3b；

（2）a－3b；

11（3）a－b. 23

知识点2：平面向量的坐标表示

例4．已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.

例5．设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋mj (m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．

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知识点3：平面向量坐标的应用

1例6．（1）已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，求a；

2→→→（2）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，求BD；

（3）已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，求λ1，λ2的值；

→1→（4）已知M(3，－2)，N(－5，－1)且MP＝MN，求点P的坐标；

2→→→→（5）向量AB＝(7，－5)，将AB按向量a＝(3,6)平移后得向量A′B′，求A′B′的坐标；

（6）已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，

C(1,2)，求顶点D的坐标；

→→（7）已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且AC＝2BD，求x＋y；

→（8）若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3，2)，求x；

→（9）已知A(1,2)、B(3,2)，a＝(x＋3，x－3y－4)，若a＝AB，求实数x的值；

（10）已知ABCD中，A(－1,2)，B(3,0)，C(5,1)．求顶点D及对角线交点M的坐标．

例7．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．

例8．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．

4．中点坐标公式

x1x2y1y2,)。

22例9．（1）已知ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3)，M,N是AB,AC边的中点，D是BC的中点，MN与AD设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则线段PP12的中点坐标为P(交于F，求DF；

（2）在ABC中，已知A(3,7),B(2,5)，若线段AC,BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标；

（3）已知平行四边形ABCD的一顶点坐标为A(2,1)，一组对边AB,CD的中点分别为M(3,0),N(1,2)，求平行四边形的各个顶点的坐标；

93 （4）在YABCD中，已知A(,7),B(2,6)，其对角线的交点M(3,)，求C,D的坐标。

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5．定比分点坐标公式

uuuruuurP点为线段PP若PP12的以定比为的定比分点；

1PP2,则称uuuruuurx1x2y1y2P(,)。

若P，，则点坐标为(x,y),P(x,y)PPPP(1)1112221211例10．设点P是线段PP12上的一点，P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)。

P的坐标；

（1）当点P是线段PP12的中点时，求点P的坐标。

（2）当点P是线段PP12的一个三等分点时，求点

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（2）已知向量AB(3,4),AD(1,3),点A(2,1)。若点P(3,y)分BD所成的比为，求及y及y的值；

例11．（1）已知两点P1(3,2),P2(8,3)，求点P(,y)分PP12所成的比的值；

2|PP2|，求点P的坐标；

31（4）已知点A(6,3)，O为坐标原点，点P在直线OA上，且OPPA,若P是线段OB的中点，2求点B的坐标；

（5）已知ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，D是边AB的中点，G是CGCD上一点，且2,求点G的坐标.

GD（3）已知P,3)，P在直线PP1|1(2,1),P2(112上，且|PP

P分PP及点P的坐标。

例12．已知点P1(2,2),P2(3,0)，求在下列情况下，点12所成的比为1|PP2|；

2（2）点P在线段PP12的延长线上，使|PP1|3|PP12|；

（1）点P在线段PP1|12上，使|PP（3）点P在线段P2P1的延长线上，使|PP1|3|PP12|。

例13．线段AB的端点为A(x,5),B(2,y)，直线AB上的C(1,1)，使|AC|2|BC|，求x,y的值；

例14．（1）已知三点A(0,8),B(4,0),C(5,3)，D点内分AB的比为1:3，E点在BC边上，且使BDE的面积是ABC面积的一半，求DE中点的坐标；

（2）已知三点A(1,2),B(4,1),C(3,4)，在线段AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把ABC的面积分成4:5两部分，求点P的坐标。

例15．已知P(x,2),P,5)。

1(2,3),P2(1（1）求点P分PP12所成的比1和x的值；

（2）求点P2分PP1所成的比2。

例16．（1）已知点A(5,1)，向量AB(6,8),BC(2,5),设BAC的平分线交BC于D，求点D的坐标；

（2）已知OA2,OB1,OC4,AOB120,AOC30,试以OA,OB为基底表示OA；

（3）已知不共线的三个向量a,b,c两两所夹的角相等，且|a|1,|b|2,|c|3，求abc。

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