2.3.1 变量之间的相关关系公开课教案

2.3变量之间的相关关系教学设计

卢子杰

一．

教学分析: 教学内容：《变量之间的相关关系》人教版高中教材必修三第二章第二

节“变量之间的相关关系”的第一课时，主要内容描述两个变量之间的相关关系

。

二．教学目标分析: （1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系. (2) 了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

(3)在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性回归直线，会用线性回归方程进行预测.

三．教学重点与难点：

教学重点：回归直线方程的求解方法．

教学难点：回归直线方程的求解方法. 四.教学过程课堂设计: 1．创设情景，揭示课题

在上节课,为了了解热茶销量与气温的大致关系. 026 18 13 10 气温/C 杯数

20 24 34 38 4 50 1

64 我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到散点图. 从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线的附近. 如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线. 如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清楚的了解热茶销量与气温之间的关系. 2.最小二乘法

选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；

（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；

（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；

………………

怎样的直线最好呢?

------从整体上看,各点与此直线的距离最小. ˆbxa的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.

即: 用方程为y18016014012010080604020-2020406080100120-20-40140160ˆbxa与图中六个点的接近程度呢？

那么，怎样衡量直线y

ˆ的值: 我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个y26ba,18ba,13ba,10ba,4ba,ba.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和: Q(a,b)(26ba20)2(18ba24)2(13ba34)2(10ba38)2(4ba50)2(ba64)21286b26a2140ab3820b460a10172

ˆbxa与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量Q(a,b)是直线yˆbxa与图中六个点的接近程度,所以,设法取a,b的值,使Q(a,b)达到最小值.这种直线y方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) . 140a3820时, Q取得最小21286140b460值.同理, 把b看作常数,那么Q是关于a的二次函数.当a时, Q取得最小12先把a看作常数,那么Q是关于b的二次函数.易知,当b140a3820b值.因此,当21286时，Q取得最小值，由此解得b1.6477,a57.5568.所求a140b46012ˆ1.6477x57.5568.当x5时,yˆ66,故当气温为5C时,热茶销直线方程为y量约为66杯.

3.线性回归方程的求解方法

一般地,设有n个观察数据如下：

0x

y

x1

x2

y2

x3

y3

…

…

xn

yn

y1

当a,b使Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2...(ynbxna)2取得最小值时,就ˆbxa为拟合这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 称y上述式子展开后，是一个关于a,b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a,b的值．即

nn(xix)(yiy)xiyinxyi1i1bnn2nn112(xix)xinx,（*）

xxi, yyi

ni1ni1i1i1aybx线性回归方程是ˆbxa,其中b是回归方程的斜率,a是截距.系数

y4.求线性回归方程的步骤：

(1)计算平均数x,y；

(2)计算xi与yi的积，求(3)计算2xi；

xyii；

(4)将结果代入公式bxiyinxyi1nn,求b；

xi12inx2(5)用

aybx,求a；

(6)写出回归方程

5.

线性回归方程的应用

例题:给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：

施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 (1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线方程

解：(1)散点图（略）．

(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格

i 1 2 3 4 xi

15 20 25 30 yi

330 345 365 405 xiyi

4950 6900 9125 12150 777i1i1i15 35 445 15575 6 40 450 18000 7 45 455 20475 x30,y399.3,xi27000,yi21132725,xiyi87175

87175730399.34.75,故可得到

70007302a399.34.7530257b^从而得回归直线方程是y4.75x257．

6.小结：

对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a,b的计算公式，算出a,b．写出回归方程