构建知识体系教学实录

第17章

勾股定理

——知识梳理

教学目标：1、理解勾股定理及其逆定理并会应用勾股定理及其逆定理解决实际问题

2、培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生理性思维

3、提升学生应用数学解决生活实际问题的能力

教学重点：解勾股定理并会应用勾股定理及其逆定理解决实际问题

教学难点：构造直角三角形应用勾股定理解决生活

教学过程：

一、思维导图梳理：

二、应用拓展、形成能力（分类训练，讲练结合，以练为主）：

题型一

勾股定理的直接应用

1.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）如果a=3，b=4， 则c=

；

（2）如果a=6，c=10，

则b=

； （3）已知b=3，∠A=30°，则a= ，c= . （4）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８，则ａ= ，ｂ= 。 （5）已知ａ：ｂ＝３：４，ｃ＝２５，则ａ= ，ｂ= 。

（6）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,c-b=8,则b= ,c= 2.已知在△ABC 中，∠B =90°，一直角边为a，斜边为b，则另一直角边c满足c2 =

3.如图，等边三角形的边长是6，求这个三角形的面积

变式：等边三角形ABC的面积为 ，求这个三角形的边长？

归纳：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线都能把等腰三角形分为两个全等的直角三角形。注意到这一点后，一些与等腰三角形有关的问题可以用勾股定理来解决。

题型二

分类讨论问题

知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm，则第三条边的长为 2.已知：在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，高AD＝12 cm，求S△ABC．

规律：

1.

直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。

2.

当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。

题型三

勾股定理的实际应用

如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。

思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？

1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形.

2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题

题型四

勾股定理的综合应用

1.已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12 .

求证：

△ABC是等腰三角形. 分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可

思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？

1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形. 2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中. 3 .利用勾股定理列出方程. 4.解方程，求线段长，最后完成解题

题型五

勾股定理的逆定理的直接应用

△ABC三边a,b,c为边向外作正方形、等边三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？

题型六

折叠问题

1.如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？

题型八

展开思想

1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？

2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定

规律：

1.几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面

2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。

题型九

勾股定理及其逆定理的综合应用

已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，

且AB⊥BC.求四边形

ABCD的面积.

分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题.

题型十

综合证明题

1.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：

AD2-AB2=BD·CD

2.如图，公路MN和小路PQ在P处汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?

三、汇总小结、掌握规律（侧重数学思想的渗透应用）

四、作业布置