1.4 角平分线的性质教案和课堂实录

第一章

直角三角形

1.4 角平分线的性质

课题

角平分线的性质

共

3课时

第1 课时

课型

新课

1．知识与技能：能够利用三角形全等，证明角平分线的性质，能对角平分教线的性质进行简单推理，解决一些实际问题

学2. 过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明目意识和能力

标

重点1、重点：角平分线的性质

难2、难点：：对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题

点

教学观察、分析、归纳

策略

教

学

活

动

课前、课中反思

3.情感态度与价值观：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力

- 1 -

一．创设情境，引入新课. 1、引导学生回顾上节课的主要内容. 2、三角形中有哪些重要线段？你能作出这些线段吗？

3、多媒体展示如下问题，请学生思考. 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

4、学生互相讨论，教师巡视班级，观察监督学生的活动情况，也可参与到学生的讨论中去. 5、师生共同分析讨论，探究问题的解答. 分析：要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

看看条件够不够．

ABADBCDCACAC

所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

二、探究角平分线的作法和性质. 1、教师总结指出：由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法. 作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力

12

议一议：

11．在上面作法的第二步中，去掉“大于

MN的长”这个条件行吗？

22．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

11．去掉“大于

MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以2- 2 -

就找不到角的平分线．

2．若分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

练一练：

任意画一平角∠AOB，作它的平分线．

结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 探索活动

1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C.把角A对折，使得这个角的两边重合.2、在折痕（即平分线）上任意找一点C，

过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足.4、将纸打开，新的折痕与OB边交点为E. 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

按以下步骤折纸

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC. 求证：OE=OD. 三、随堂练习

课本练习．

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB•也垂直．

四．课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．

五．课后作业

12

- 3 -

本节课重点是通过角平分线的性质定理、及逆定理的把握，要求课学生理解这两个定理的条件和结论，在具体实际问题中灵活加以后反运用，让学生经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的思

推理证明意识和能力

课题

角平分线的性质

共 3课时

第 2 课时

课型

新课

1．知识与技能：能够利用角平分线的性质进行推理和计算，解决一些实际教问题

学2. 过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证目明意识和能力

标

3.情感态度与价值观：渗透建立几何模型的数学思想和培养学生解决实际问题的能力

重点1、重点：角平分线的性质

难2、难点：：对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题

点

教学观察、分析、归纳

策略

教

学

活

动

课前、课中反思

- 4 -

引

我们知道，角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？

二．探

如图：点Q在∠AOB内，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD=QE

求证：OQ是∠AOB的角平线

归纳：

到角的两边的距离相等的点在

上.

用符号语言表示为：

∵

∴点Q在∠AOB的平分线上

练：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．

三．结轮

经历探索、猜想、

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 证明的过程，进四.应用

一步发展学生的A组练习：

推理证明意识和1. 如图1所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC能力

与PD的大小关系是（ ）

A. PC＞PD B. PC＝PD C. PC＜PD D. 不能确定

2、如图2所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ ）

A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC

3. 到三角形三边距离相等的点是（ ）

A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点

C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定

4、如图3所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ）

A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处

（图1）

（图2）

（图3）

5、已知△ABC的外角平分线BD、CE相交于点P .求证：点P在∠A 的平分线上

- 5 -

B组练习

6、如图∠B=∠C= 90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AMAB平分∠DAB.

M

DC

7 、已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．

求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′．

五.作业P25练习1、2题

课题

角平分线的性质

共

3课时

第

3 课时

课型

新课

1．知识与技能：能够利用角平分线的性质进行推理和计算，解决一些实际教问题

学2. 过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明目意识和能力

标

3.情感态度与价值观：渗透建立几何模型的数学思想和培养学生解决实际问题的能力

重点1、重点：角平分线的性质

难2、难点：：对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题

点

教学观察、分析、归纳

策略

教

学

活

动

课前、课中反思

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Ⅰ．创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．

Ⅱ．导入新课

角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．

折出如图所示的折痕PD、PE．[来源:Zxxk.Com]

经历探索、猜想、证明的过程，进按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

一步发展学生的推理证明意识和投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．

能力

画一画：

[来源学科网]

结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

- 7 -

已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

由已知事项推出的事项：PD=PE．

于是我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．

由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？

分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．思考：[来源:Z§xx§k.Com][来源学科网Z.X.X.K]

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？

2．比例尺为1：20000是什么意思？

结论：

1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．

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2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．

III例题与练习

例

如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

所以PD=PE．

同理PE=PF．

所以PD=PE=PF．

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

练习：

强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．

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IV．课时小结

今天，我们学***分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．

Ⅴ．课后作业

通过练习，回顾进一步让学生理解角平分线的两个定理：①角平课分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点后反在角的平分线上．运用这两个定理，解决实际问题。

思

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