二次根式应用优秀教案范文

9 二次根式的综合化简

满分晋级

代数式10级

二次根式的概念及运算

代数式11级

分式恒等变形

代数式12级

二次根式的综合化简

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秋季班第八讲

秋季班第九讲

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题型一：二次根式的化简与求值

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二次根式的化简求值，是中考以及各级各类竞赛中的常见题目，其常用的方法有约分法，裂项法，取倒法等等．

典题精练

【例1】

化简下列二次根式

1111.(213243

【解析】

n1n

1)(20111)．

20112010n22n1nn1n1n1．

说明n1n和n1n互为倒数，故原式1n1n．

n1n21324320112010220111

20111201112011122010



2.

10141521

10141521

【解析】

101415215(23)7(23)23265

101415215(23)7(23)233.

423423

【解析】

423423323132313123123

2【点评】

此题是复合二次根式的化简，在初三的锐角三角函数中会涉及，老师还可练习843，

此类题型的步骤为：⑴将二次根式化简为a2b的形式

⑵将a拆成x+y，b拆成xy的形式

⑶a2bxy

2

【例2】

1. 已知x31，y31，求x2xyy2和x3yxy3．

【解析】

x2xyy2yxxy2226；2[来源学。科。网]

2x3yxy3xyx2y2xyyx2xy2222216

2.已知xyx3232,y，求的值．

xy3232【解析】

y3232(32)2526，x(32)2526

3232xyx2y2(xy)22xy98xy10，xy1，yxxyxy

ab的值．

ab

3.已知ab6,ab4且ab，求22【解析】

abab4ab624420

∵ab

∴ab25

a2abb5原式=

ab5

4.其中x23，y23，求

【解析】

原式

x(xy)y(xy)xxyxyy的值．

xyyxxyy(xy)xy4．

x(xy)xy

例2精讲：ab、ab或ab、ab的应用

共轭根式：形如xab，yab的两个根式互称为共轭根式．

如果x和y互为共轭根式，那么xy和xy都是有理式．（其中a,b为有理数）

通常情况下，将含有一个二次根式的代数式有理化的方法是乘以它的共轭根式．

解决根式问题，应当视情况将分母或分子进行有理化．

推广：xab、yab虽然不是共轭二次根式，但是xy同样是有理式，因此也可以用来帮助分母或分子有理化．

探究1、分母有理化

【变式1】计算：1322322【解析】原式322；

(322)(322)

探究2、分子有理化

【变式2】已知c1，xcc1，yc1c，zc2c1，比较x，y，z的大小．

【解析】分子有理化可直接得到答案，易得zyx．

探究3、利用共轭根式xy和xy来化简求值

xy11【变式3】已知x(75)，y(75)，求下列各式的值.⑴x2xyy2； ⑵. yx22

111【解析】∵x(75)，y(75)，∴xy7，xy. 222⑴x2xyy2(xy)23xy(7)23115. 221212. ⑵xyxy(xy)2xyyxxyxy222(7)2212探究4、构造共轭根式进行配对

【变式4】已知x34513451，则x312x的值是

. 【解析】设3451a，3451b；则xab，a3b34514518，

ab345134513451451344515134444，

原式ab312aba3b33abab12aba3b312ab12ab8.

探究5、共轭根式求值

【变式5】已知25x215x22．则25x215x2的值为__________．

【解析】注意到25x215x225x215x225x215x210，



所以，25x215x25．

【例3】

1.已知x210，求x24x6的值．

【解析】

直接把x210代入代数式求值显然计算很繁琐，可适当变形x24x6x2100．

1的值．

a【解析】

∵a23，∴a23，∴a24a10，a24a1，则a34a2a

111a214a1132222a8a3a8a2a8a3aa4

aaaaa2.已知a23，求2a38a23a[来源:Z_xx_k.Com]2

题型二：二次根式的综合应用

思路导航

二次根式的综合应用包括比较大小，实际应用问题等等.

典题精练

【例4】

比较下列各式的大小(填“>”“<”或“=”)

①

3______22

②

57

65

11③

④

20022001________20012000

7553【解析】

①（平方）两个正数，其平方大的大，329，22②（被开方数）

57175，65180，

∵180175，故175180，即5765．

17575③（分母有理化）27575757575

228，则322．

253

2215353535353532∵75，53，∴7553，∴

④法一（分子有理化）

11．

7553

2002200120022001200220012002200120012000200120001

200220011

200120002001200020012000∵2002200120012000，∴2002200120012000．

11法二（倒数法）20022001，20012000，

20022001200120002002200120012000

332a，求a、b的值.

22ab4033【解析】由已知条件可得(2ab4)(a)30，所以，即a，b1．

322a02【例5】

已知a、b均为有理数，并满足等式43ab

【例6】

若a0，b0，c0，求证：a2b2b2c2c2a2≥2abc．

【解析】

待证不等式左边的根式，让人联想起直角三角形中斜边的表达式；而其右D边为abc的2倍，又与正方形的对角线有关．我们借助几何图形给aEFabcBc予证明．

作出以abc为边长的正方形ABCD，分别在两边上截取线段a、b、c，bC如图，则AEab，EFbc，FCca，

而AC2abc，显然，由AEEFFC≥AC，可得原不等式成立．

222222A

思维拓展训练(选讲)

训练1.

已知xy11，yz，求x2y2z2xyxzyz的值．

23231【解析】

∵xy23，

231yz23，

23∴xzxyyz4

1222∴x2y2z2xyxzyz=xyxzyz15．

2训练2.

已知x221，求x311x15的值．

【解析】

直接代入肯定麻烦，先对已知条件进行变形．

x122，x18，x22x18，即x272x．

2

下面采用降幂（次）：

x311x15x72x11x152x24x15272x4x151．

111训练3.

已知a40a1，求a及a的值．

aaa1111aa26【解析】

，∵

∴a0a6

aaaa1∵0a1

∴a<0

a11a22

又∵aaa1∴a2

a

训练4.

设三所学校A、B、C分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现是网络时代，要在三个学校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲：ABBC；方案乙：ADBC（D为BC中点）；方案丙：AOBOCO（O为三角形三条高的交点），请你帮助计算一下哪种方案线路最短？

AAA22OB甲CBD乙CBD丙C

【解析】

设ABa，则BD33aa，在Rt△BDO中，DBO30，BOa．

，AD232

方案甲：ABBC2a2223a；方案乙：ADBCaa2322a；

333方案丙：AOBOCO3a3aa

32所以，AOBOCOADBCABBC．



复习巩固

题型一

二次根式的化简与求值

巩固练习

【练习1】

已知x52，求x2x5的值．

（四中期中）

【解析】

当x52时，

原式(52)2(52)5

945525

745．

【练习2】

若a【解析】

由a21求a3a2a2的值

，2312得a31，即a13，两边平方，得a22a20

，311∴原式=aa22a222

2

题型二

二次根式的综合应用

巩固练习

【练习3】

已知n是一个正整数，135n是整数，则n的最小值是（

）

[来源学科网ZXXK]A．3

B．5

C．15

D．25 【解析】

C

【练习4】

某电力公司为了改善农村用电电费过高的问题，准备在各地农村进行电网改造，富康乡有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，有四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

[来源:Zxxk.Com]（以下数据可供参考：21.414，31.732，52.236）

ADADADAH'30°30°EOB(1)CB(2)[来源学科网ZXXK]DFCB30°H(4)30°CCB(3)【解析】

方案4最省钱．

2【练习5】

若x表示不超过x的最大整数（如3,23等），则

3

112123231_________________．

200120002001

【解析】

2000

课后测

11（宣武期末）

.

a2b22测试1.

已知a32，求

⑴a2bab2；

⑵b32，【解析】

由题意得ab23，ab1

⑴

原式abab2

ab2ab10

3

⑵

原式2ab2测试2.

先化简，再求值：abab2ab3a2，其中a23，b32．

【解析】

abab2ab3a2a22abb22a2abb23a2ab． 当a23，b32时，

原式=2332=1

测试3.

试比较51512与73732的大小．

【解析】

515151462573，473734210221．

4显然，

51517373．

创新思维

相传中国古代著名军事家孙膑的老师鬼谷子在教学中极善于培养学生的创新思维。其方法别具一格。有一天，鬼谷子给孙膑和庞涓每人一把斧头，让他俩上山砍柴，要求“木柴无烟，百担有余”，并限期10天内完成。

庞涓未加思索，每天砍柴不止。

孙膑则经过认真考虑后，选择一些榆木放到一个大肚子小门的窑洞里，烧成木炭，然后用一根柏树枝做成的扁担，将榆木烧成的木炭担回鬼谷洞。意为百（柏）担有余（榆）。

十天后，鬼谷子先在洞中点燃庞涓的木柴，火势虽旺，但浓烟滚滚。接着鬼谷子又点燃孙膑的木炭，火旺且无烟。这正是鬼谷子所期望的。

其实，在现实生活中我们有很多事可以去做，只是你没有去做和没有认真去做。这样，你就与创造无缘。但是，当你平时留心，善于钻研和思考，说不定用不了多久，你就会不知不觉地成为一个创造能手，成为一个小发明家。

创造力人皆有之，创新活动并不神秘。只要你有强烈的创造欲和敏锐的创造眼光，并经过学习和努力，你的创造才能表现出来，并在实践活动中发展。

每一个人都应该树立坚定的信念，并去努力实践，创新的成功一定会属于你。

今天我学到了