构建知识体系课时教案

《勾股定理》构建知识体系

昌吉市第五中学

胡玉莲

一、教材分析

本节课教学内容是人教版《义务教育教教科书·数学》（2011年版）第十七章“勾股定理”。本章所研究的勾股定理，是直角三角形非常重要的性质，有及其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。

二、学情分析

学生在本章的学习之后已经对勾股定理及其逆定理有了一定的认识，会判断一个三角形是否为直角三角形，也会在直角三角形中已知两边长度求出第三边的长度等等，但对数学中重要的思想方法如方程思想、转化思想、分类讨论思想等思想在《勾股定理》这一章中如何更好地运用到解题中却不太清楚，理解不透。

三、教学目标

知识与技能：

了解方程思想、转化思想、分类讨论思想的意义以及它们在解题过程中的步骤和注意点; 过程与方法：

通过整理与复习直角三角形的有关知识,形成直角三角形的性质与判定方法的知识体系. 情感态度与价值观：

能灵活运用分类讨论思想和数形结合思想,方程思想、转化思想，提高运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力。

教学重点：

选择合适的思想方法以及运用各方法时该注意的问题

教学难点：

运用方程思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想解题时该注意的问题

教学过程：

（一）知识回顾，引导学生构建知识体系

要点梳理

一、勾股定理

1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边

为c，那么a2 + b2 = c2

2.勾股定理的应用条件:

在直角三角形中才可以运用

3.勾股定理表达式的常见变形：

a2＝c2－b2,

b2＝c2－a2

二、勾股定理的逆定理

1.如果三角形的三边长a，b，c满足

a2 +b2=c2

，那么这个三角形是直角三角形

ca2b2,ac2b,2bc2a2

2.勾股数满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数

3.原命题与逆命题

构建知识体系:

二、典型习题讲解练习

专题一

用勾股定理计算图形的面积

如图，Rt△ABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为

直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为______

【针对训练1】在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置

的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个

的正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则

S1+S2+S3+S4= 。

[方法归纳]以Rt△ABC三边a,b,c的三边为边长分别向外作正方形、等边三角形、半圆、等腰直角三角形，都有S1+S2=S3成立

专题二

实际问题中应用勾股定理

我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少

【针对训练2】

有一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前长________m. [方法归纳]

勾股定理的实际应用时遇到求线段长度类问题,通常可以通过构造直角三角形,从而利用勾股定理求解.

专题三

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形

(滨州中考)下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是

(

)

A.4,5,6

B.1.5,2,2.5

C.2,3,4

D.1,,3

〔解析〕

∵42=16,52=25,62=36,∴42+52≠62,∴长为4,5,6的线段不能构成直角三角形;∵1.52=2.25,22=4,2.52=6.25,∴1.52+22=2.52,∴长为1.5,2,2.5的线段能构成直角三角形.故选B.

[方法归纳]

给出三条线段的长度,判定能否构成直角三角形的步骤:(1)分别计算三条线段长的平方;(2)看是否满足两较短线段长的平方和等于最长线段长的平方;(3)做出判断. 【针对训练3】.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ). A．7，24，25 B．2，1.5 ,2.5 C．5，7，9 D．4，7.5，8.5

专题四

勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用(数形结合思想）

已知△ABC中,AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm,求证AB=AC. 证明:∵AD为中线,∴BD=DC=5 cm.

在△ABD中,∵AD22+BD2=169,AB2=169,

∴AD2+BD=AB2,

∴∠ADB=90°,

∴AC2=AD2+DC2=169,∴AC=13 cm,

∴AB=AC.

【针对训练4】.如图所示,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.则四边形ABCD的面积是

.

专题五

用勾股定理计算最短路径（转化思想）

例5.有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3).

[方法归纳]

在曲面上求两点之间的最短距离,根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”的转化思想,利用勾股定理解决.

【针对训练5】. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点

A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是_____ A B

专题六

分类讨论思想

【专题分析】

在研究三角形的高时,应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况去考虑;在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候,要考虑分类讨论.讨论要全面,不能重复和遗漏

长

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周【针对训练6】. 1.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高AD=8,则BC的长度=________________________. 2.等腰△ABC的腰长为10cm, △ABC的面积为30cm²

，则底边长_________________________.

专题七

建模思想

如图所示,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,它们同时发现C处有一筐苹果,一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C.已知两只猴子所经路程都是15米.试求大树AB的高度.

〔解析〕由题意不妨设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),Rt△ABC的三边满足勾股定理,因此可列方程解得AD,进而求AB的长.

解:设AD=x米,则AC=(15-x)米,

又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),

在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB2+BC2=AC2,

∴(10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2.

∴大树AB的高度为10+2=12(米). 【针对训练7】小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高吗？

专题八:勾股定理与折叠问题（方程的思想）

如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.

解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，

∴ED=BE. 设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，

在Rt△ABE中，

AB2+AE2=BE2，

∴32+x2=(9-x)2，

解得x=4∴s△12ABE= 3×4×

=6(cm2).

方法总结:折叠类问题中一定存在相等的线段或角,要充分挖掘折叠中隐含的数量关系.利用勾股定理建立方程也是一种常用的方法. 【针对训练8】

如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为

三．课堂小结

由形到数 由数到形

勾股定理

互逆定理

勾股定理的逆定理

直角三角形边长的数量关系

直角三角形的判定

四、课后作业

1.一个直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三条边长为______. 2.已知：如图，等边△ABC的边长是6

cm. 求⑴等边△ABC的高;

⑵S△ABC.

3. 如图，AB=AC=20,BC=32，

∠DAC＝90°，求BD的长. 课本P38

1,2,5,6,7,8,9,10.