二次根式应用课件配套优秀

16.1 二次根式（第1课时）

教学任务分析

知识技能

数学思考

解决问题

情感态度

教

学

目

标

使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围. 使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性. 培养学生根据条件处理问题的能力及分类讨论问题. 培养学生辩证唯物主义观点. 重点

二次根式中被开方数的取值范围. 难点

二次根式的取值范围.

板书设计

课题：16.1 二次根式

问题：1，2，3，4 2.例题与练习

1.二次根式的定义 总结收获

课后反思

教学过程设计

问题与情境

活动一回顾与思考

1．４的平方根是_____；

0的平方根是______；

－16的平方根是____. 2．5的平方根是_______；

5的算术平方根是____. 3．直角三角形的两条直角

边分别为7和4，斜边为__. 4．正方形的面积为s,则它

的边长为_____. 活动二接触新知

上面3、4题的结果是65，

s他们表示一些正数的算

术平方根. 1.

二次根式的定义:一般

的,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“” 称为二次根号.

设计意图

使学生回忆平方根和算术平方根的内容

利用开方开不进的式子引出二次根式的定义.

进一步巩固被开方数一定要大于等于零这一条件.

师生行为

1,2两题学生口答: 1. ４的平方根是±2; 0的平方根是0; －16没有平方根. 2. 5的平方根是±5;

5的算术平方根是5. 3.题经过计算后回答65; 4.题学生口答s.

请同学们思考:为什么一定要加上

a≥0这一条件?引导学生说出只有正数和零才有平方根，负数没有平方根.

（1）小题与学生一起分析；

2.例题与练习

例1.下列各式是否为二

次根式? （2）小题请学生分析；

（1）m21;（2）a2;

2（3）n;（4）a2;

（5）xy.

22解：（1）∵m≥0, ∴m+1>0 （3）小题请学生认真思考后回答；

∴m21是二次根式. 2（2）∵a≥0,

∴a2是二次根式; 22

（3）∵n≥0,∴-n≤0, （4）（5）两小题需要分情况∴当n=0时n2才是二次根讨论，请学生考虑清楚在回式；

（4）当a-2≥0时是二次

答. 根式,当a-2<0时不是二次根式；即当a≥2是二次根式,当a<0时不是二次根式；

（5）当x-y≥0时是二次根式,当

x-y<0时不是二次根式；即当x≥y是二次根式,当x

教学过程设计

设计意图

使学生进一步掌握二次根式取值范围的习题.

对第四小题试着讨论.

1、2两小题检查中等及以下学生对基础知识的掌握情况.

3题检查中等以上学生是否对二次根式的取值范围有更深刻的理解.

问题与情境

师生行为

例2.当x为何值时,下列各

式在实数范围内有意义?

（1）x3

2

4x

（2）3

（3）5x

（4）x1

（2）小题学生自己能解:（1）由x-3≥0,得x≥3.

（1）当

x≥3时，x3在实

够解决.

数范围内有意义；

（2）

21由4x≥0，得x≤.

63

12当

x≤时，4x

63

在实数范围内有意义；

（3）由-5x≥0,得x≤0; （3）小题注意符号问题；

当x≤0时，5x在实数

范围内有意义；

（4）∵x≥0，

∴x+1>0，

∴x为任意实数x1都有意义.

练习: 1. 一个矩形的面积是218cm,它的边长之比为2:3,它的边长应为多少？

2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）a1

（2）2a3

3.已知y=x3-3x,求x+y的值.

（4）小题请学生思考后解答.

学生练习1、2两小题是基础题,学生自己能够完成.

3题是灵活应用二次根式的取值范围才能解的题目,需要学生认真思考.

教学过程设计

问题与情境

活动三.总结收获

1.二次根式的定义及被开方数的取值范围; 2.被开方数的取值范围在计算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用.

作业: 1.下列各式是否为二次根式?

设计意图

有助于培养学生的总结能力,并让学生总结经验教训有助于学生大胆的说出自己的错误避免今后再出现同样的失误.

师生行为

学生总结有何收获和经验教训,教师补充.

222x3；

a；

a；m7.

2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1) 3a; (2)

a1; (3)

62a2.

16.1 二次根式（第2课时）

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能

使学生初步掌握利用（a）2=a（a≥0）进行计算. 数学思考

乘方与开方互为逆运算在推导结论（a）2=a（a≥0）中的应用. 解决问题

二次根式的非负性和如何利用（a）2=a（a≥0）解题. 通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（a）=a（a≥0）,情感态度

使学生感受到数学知识的内在联系. 2重点

应用（a）2=a（a≥0）进行计算. 利用二次根式的非负性（上一节已谈及二次根式的取值范围）和利用

难点

（a）2=a（a≥0）解题.

板书设计

课题：16.1 二次根式

问题1，2，3 结论：(a)2=a（a≥0）

例1. 总结收获

课后反思

教学过程设计

问题与情境

活动一回忆旧知识

问题：

1. 5

，a有意义吗？为什么？ 2.5表示的意义是什么? 3.a表示的意义是什么? 活动二引入新知识

请同学们想一想a有没有可能小于零？为什么？

设计意图

师生行为

学生口答

1.5有意义，因为5>0；

a当a≥0时有意义，

当a<0时无意义；

2.5表示的是5的算术平方根. 3.a表示的是当a≥0时a的算术平方根.

学生思考并解释，不完善a≥0 (a≥0）

的地方教师补充. 例1.已知

求x3+y5=0，

xy的值是多少？

解：∵x3+y5=0，

找学生来讲解做法. ∴x3≥0且y5≥0，

∴x3=0且y5=0；

即x+3=0且y-5=0

解得x=-3,y=5

∴xy=-15.

练习:已知学生独自思考解题，然后1a+b7=0，

全班同学集体进行交流. 求a-b的值.

答案：a-b=8.

活动三探求规律

请学生口答结果后总结根据算术平方根的意义填空：

有何规律. 1.(9)2=_________；

1.9; 2.3; 2.(3)2=_________；

23.(1)=_________；

3.1

554.(0)2=_________；

4.0; 5.a;

5.(a)2=______；（a≥0） 由于a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，根据平方根的意义，a的平方等于a，因此我们就得到一个结论：

(a)2=a（a≥0）

利用这两个式子复习被开方式的取值范围.

复***方根的基本形式.

引出初中阶段的第三个非负式.

使学生理解非负式的应用.

进一步巩固二次根式的非负性.

由学生自己发现规律，他们更容易记住.

教学过程设计

问题与情境

例2.计算: （1）（1.7）2；

（2）（25）；

2

设计意图

师生行为

（1）小题学生口算结果.

2（3）（a21）.

2解：（1）（1.7）=1.7；

（2）与学生一起写出过程

n这里用到公式（ab）=anbn （2）（25）2.

=22×（5）2=4×5

=20. （3）问学生为什么不用给222（3）（a1）=a+1. 出字母的范围. 练习.计算：

21.（0.5）；

22.（710）；

2

3）2；

3.（

7学生自己计算在小组对答4.（a2b2）2. 案. 解:1.（0.5）2=0.5；

2.（710）2=490；

2

3）2=12

3.（749

222224.（ab）=a+b.

活动四总结收获

1.请学生谈一谈自己的1.

注意二次根式的非负性收获以及自己对本节课的在解题中的应用；

体会; 22.

(a)=a（a≥0）

2.请你给大家一些建议,的应用范围，一定要注意；

在做这种题目是应注意哪3．请谈一谈本节所学的内容学问题. 与哪些学过的知识有联系.

作业：

计算：

1.

(4)2; 2.

(7)2; 3.

(33)2；

4.

(21.5)2

逐层深入使学生对

(a)2=a（a≥0）

有更深刻的理解.

进一步巩固所学内容.

使学生大胆的说出自己的想法和错误，以便及时改正.

16.1 二次根式（第3课时）

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能

使学生理解并掌握a2=a,并能利用这一结论进行计算. 数学思考

通过对a2的化简，培养学生分类讨论的思想. 解决问题

解决了a2这一类问题的化简问题. 情感态度

培养学生用分类讨论的思想分析生活中出现的不同事物

重点

利用a2=a（a≥0）进行计算

难点

当a<0时，a2=-a这一结论的推导和应用.

板书设计

课题16.1 二次根式

问题1，2 结论：当（a≥0）时a2=a

归纳小结 例2.计算:

课后反思

教学过程设计

问题与情境

活动一复习旧知识

1.(3.9)2

2.(x)2=_______ =_______；

活动二探索填空

_____=22=______；

师生行为

设计意图

学生口答第（1）小题

这两道小题的设计目的（2）小题学生考虑应考虑是复习旧知识,使学生与本什么?怎样填写? 节课的内容分开.

_____=42=______；

_____=0.12=______；

使学生理解a2（a≥0）_____=2=______；

23实际上是求的算术平方a与学生一起分析填空，同根. _____=02=______；

时讲清a2（a≥0）的意义2

22求的是2算术平方根，并总结出规律.

即求4的算术平方根是2；

同理依次可得

4，0.1，2，0；

3

因此，总结出

当（a≥0）时a2=a.

培养学生的归纳能力

例1 化简:

（1）82；

（1）（2）两小题学生自己

（2）16；

解决；

虽然x可以取全体实数，（3）(x21)2. （3）小题提醒学生应注意但要养成习惯对字母进行解：（1）82=8；

考虑x的取值范围. 讨论. 2（2）16=4=4；

222

（3）(x1)=x+1.

练习.计算：

（1）0.32；

（2）2

7 对负指数的化简学生应

（3）25；

学生独自完成，在全体订多加注意.

（4）102. 正答案.

22解：（1）0.32=0.3；

（2）272=2；

7（3）25=5；

（4）102=10-1=0.1=1.

10

教学过程设计

问题与情境

活动三拓展提高

议一议：

设计意图

从特殊到一般归纳完整的a2化简的结论.

利用这三个小题进一步使学生对a2的化简有更深刻的理解.

介绍代数式的定义为今后的学习代数式化简做好准备.

训练学生的语言表达能力,勇于表达出自己的意见和想法. 师生行为

与学生一起分析计算,得出完整的结论.

（1）（2）两小题学生自己完成；

（3）小题仿照结论完成.

为学生介绍代数式的基本概念.

请学生们回忆本节课所学到的内容,谈谈你的收获和体会,有什么好方法告诉大家. (4)2=_______=______；

(5)2=_______=______；

(10)2=______=______；

由上可知,a2需要a的范围吗？为什么？

a2当a<0时，a2=？

a2=＿＿＿

(a≥0)

=＿＿＿

(a<0).

例2.计算: （1）(3)；

（2）78222；

（3）(m1).

解:（1）(3)2=3；

（2）782=7；

8（3）(m1)2=m-1 (m≥1)

=1-m

（m<1）.

代数式定义:用运算符号把数和字母连接起来的式子,叫做代数式. s例如:7,a,x+y,-2ab, , tm2,25,等都是代数式.

活动四归纳小结

1. a2的化简；

22.a与（a）2的区别; 3.代数式定义.

教学过程设计

问题与情境

作业：

1.计算：

(1).

(2).

设计意图

师生行为

32；

0.62；

(3).

104；

(4).

()2. 2.已知直角三角形的两条直角边为

a和

b,斜边为

c. (1)如果

a=12,

b=5,求

c；

(2)如果

a=3,

c=4,求

b；

(3)如果

c=10,b=9,求

a；

(4)如果

a=b=2,求

c.

16．2 二次根式的乘除

第一课时

教学内容

a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标

理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．

难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．

关键：要讲清ab（a<0,b<0）=ab，如(2)(3=)(2)(3)或(2)(3)=23=2×3．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空

（1）4×9=_______，49=______；

（2）16×25=_______，1625=________．

（3）100×36=________，10036=_______．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

4×9_____49，16×25_____1625，100×36________10036

2．利用计算器计算填空

（1）2×3______6，（2）2×5______10，

（3）5×6______30，（4）4×5______20，

（5）7×10______70．

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

a·b＝ab．（a≥0，b≥0）

反过来:

例1．计算

ab=a·b（a≥0，b≥0）

11×9

（3）9×27

（4）×6

32

分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．

（1）5×7

（2）

解：（1）5×7=35

（2）11×9=9=3

33（3）9×27=927923=93

11×6=6=3

22

例2

化简

（1）916

（2）1681

（3）81100

（4）（4）9x2y2

（5）54

分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可．

解：（1）916=9×16=3×4=12

（2）1681=16×81=4×9=36

（3）81100=81×100=9×10=90

（4）9x2y2=32×x2y2=32×x2×y2=3xy

（5）54=96=32×6=36

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①

16×8

②36×210

③5a·1ay

5(2) 化简:

20; 18;

24;

54;

12a2b2

教材P11练习全部

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）(4)(9)49

121212×25=4××25=4×25=412=83

252525

解：（1）不正确．

改正：(4)(9)=49＝4×9=2×3=6

（2）不正确．

（2）4改正：412112112×25=×25=25=112=167＝47

252525

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业

1．课本P15

1，4，5，6．（1）（2）．

2．选用课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题

1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，•那么此直角三角形斜边长是（

）．

A．32cm

B．33cm

C．9cm

D．27cm 1的结果是（

）．

a A．a B．a C．-a D．-a

2．化简a

3．等式x1x1x21成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）．

A．45×25=8 5 B．53×42=205 C．43×32=75 D．53×42=206

二、填空题

1．1014=_______．

1

2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的2高度为720m，则下落的时间是_________．

三、综合提高题

1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）222=2

332222223(232)22验证：2=2×==

33333223222(221)2==

2222232121212133

（2）3=3

88333333332验证：3=3×==

28831833(321)33(321)3==

3832132132144

同理可得：44

151555

5，……

52424a

通过上述探究你能猜测出：

a2=_______（a>0）,并验证你的结论．

a1答案:

一、1．B

2．C

3.A

4.D

二、1．136

2．12s 三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，

则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=3030×2=302．

2．

aaa=

aa21a21aaa32验证：a2=a2

2a1a1a1aa3aaa3aaa(a21)a===. aa21a21a21a21a21a21

16．2 二次根式的乘除

第二课时

教学内容

aaaa=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化bbbb简．

教学目标

aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

bbbb

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

aaaa

1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计bbbb算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

99

（1）=________，=_________；

1616

理解1616=________，=________；

363644

（3）=________，=_________；

16163636

（4）=________，=________．

818116949164规律：______；______；_______；

3616163616163636_______．

8181

3．利用计算器计算填空: 3227

（1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________．

435832273227

规律：______；_______；_____；_____。

43584358

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

（2）

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

aa=（a≥0，b>0），

bbaa=（a≥0，b>0）

bb

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

31111264

例1．计算：（1）

（2）

（3）

（4）

2841683aa

分析：上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

bb1212解：（1）==4=2

33反过来，31=2811（3）=4166464（4）==88

例2．化简：

（2）3128114163834=3×=23

2116=4=2 48=22

364b25x9x

（1）

（2）

（3）

（4）

22649a2169y64y

分析：直接利用aa=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

bb333解：（1）=

6486464b28b64b2

（2）=

223a9a9a9x3x9x

（3）=

228y64y64y

（4）5x5x5x=

2213y169y169y

三、巩固练习

教材P14

练习1．

四、应用拓展

x25x49x9x

例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

2x1x6x6

aa=，只有a≥0，b>0时才能成立．

bb因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

9x0x9

解：由题意得，即

x6x60

∴6

∵x为偶数

∴x=8 分析：式子

∴原式=（1+x）

=（1+x）(x4)(x1)

(x1)(x1)x4

x1x4

=（1+x）=(1x)(x4)

(x1)

∴当x=8时，原式的值=49=6．

五、归纳小结

本节课要掌握aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．

bbbb

六、布置作业

1．教材P15

习题21．2

2、7、8、9．

2．选用课时作业设计．

第二课时作业设计

一、选择题

112

1．计算121的结果是（

）．

335222

A．

5

B．

C．2

D．7772．阅读下列运算过程：

13322525，

35333555

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简是（

）．

A．2

B．6

C．

二、填空题

110=________;(3) =______.

321225

2．已知x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_______．

三、综合提高题

1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，•现用直径为1132的结果66

D．6

1．分母有理化:(1)

=_________;(2)

315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？

2．计算

nnn1n3 （1）·（-）÷（m>0，n>0）

333m2m2mmm3mna23m23n2 （2）-3÷（）×

（a>0）

2a2mn2a2

答案:

一、1．A

2．C 3310252二、1．(1) ;(2) ;(3)

662252515

2．

3三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为3xcm，依题意，

得：（3x）2+x2=（315）2，

34x2=9×15，x=，

15（cm）2135．

3x·x=3x2=3（cm2）4n2．（1）原式＝-2mnn4n÷=-2m3m22m5n42m3

52mnn2nn3nn=-22n=-3n

mmm2mm3(mn)(mn)a2a23a2 （2）原式=-2=-2=-6a 22amnmn2

16.2 二次根式的乘除(3) 第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

3328，（2），（3）

5272a15633282a 老师点评：=，=，=

5a52732a 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．

2Rh1 它们的比是．

2Rh2 1．计算（1） 二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．

学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

h1h22Rh12Rh1h1=. 2Rhhh2Rh22225; (2) x2y4x4y2; (3) 8x2y3

12 例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

例1．(1)

3ABC

解：因为AB=AC+BC222

516916913 所以AB=2.5262=()236=6.5（cm）

2424 因此AB的长为6.5cm．

三、巩固练习

教材P14 练习2、3 四、应用拓展

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

11(21)21==2-1，

2121(21)(21)11(32)32==3-2，

3232(32)(32)1 同理可得：=4-3，……

43 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

1111 （+++……）（2002+1）的值．

20022001213243 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3+……+2002-2001）×（2002+1）

=（2002-1）（2002+1）

=2002-1=2001 五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 3、7、10．

2．选用课时作业设计．

第三课时作业设计

一、选择题

1．如果 A．x（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．

yxyx（y>0） B．xy（y>0） C．（y>0） D．以上都不对

yy1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．

a1 A．a1 B．1a C．-a1 D．-1a

3．在下列各式中，化简正确的是（

）

1512

A．=315

B．=±232 2．把（a-1）C．a4b=a2

b

D．

x3x2=xx1

32的结果是（

）

27226

A．-

B．-

C．-

D．-2

333 二、填空题

4．化简 1．化简x4x2y2=_________．（x≥0）

a1化简二次根式号后的结果是_________．

2a 三、综合提高题

1 1．已知a为实数，化简：a3-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？a若不正确，•请写出正确的解答过程：

11 解：a3-a=aa-a·a=（a-1）a

aa 2．ax244x21 2．若x、y为实数，且y=，求xyx2 答案: 一、1．C 2．D 3.C 4.C 二、1．xx2y2 2．-a1

xy的值．

三、1．不正确，正确解答：

a30因为1，所以a<0，

0aaa原式＝aa2-a·2=a·a2-a·=-aa+a=(1-a) a

2aax24012．∵ ∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=

244x0 ∴

xy

xyx2y24163. 164

16.3 二次根式的加减(1) 第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法．

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

重难点关键

1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式．

（1）2x+3x；

（2）2x2-3x2+5x2；

（3）x+2x+3y；

（4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知

学生活动：计算下列各式．

（1）22+32 （2）28-38+58 （3）7+27+397 （4）33-23+2

老师点评： （1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？

22+32=（2+3）2=52

（2）把8当成y；

28-38+58=（2-3+5）8=48=82

（3）把7当成z；

7+27+97

=27+27+37=（1+2+3）7=67

（4）3看为x，2看为y．

33-23+2

=（3-2）3+2

=3+2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．

（板书）32+8=32+22=52

33+27=33+33=63

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．

例1．计算

（1）8+18 （2）16x+64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最

简二次根式进行合并．

解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52

（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x

例2．计算

1+312

3 （2）（48+20）+（12-5）

（1）348-91+312=123-33+63=（12-3+6）3=153

3 （2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5

=43+25+23-5=63+5

三、巩固练习

教材P19 练习1、2．

四、应用拓展

2yx21

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（x9x+y2）-（x-5x）的值．

3xxy3

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）12=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•2再合并同类二次根式，最后代入求值．

解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 1 ∴x=，y=3 22y1x 原式=x9x+y23-x2+5x

3xxy 解：（1）348-9 =2xx+xy-xx+5xy

=xx+6xy

1 当x=，y=3时，

21132 原式=×+6=+36

2224 五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 1、2、3、5．

2．选作课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题

1．以下二次根式：①12；②22；③2；④27中，与3是同类二次根式的3是（ ）．

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④

124 2．下列各式：①33+3=63；②=22，7=1；③2+6=8=22；④73其中错误的有（ ）．

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

二、填空题

122175a、9a、125、3a3、30.2、-2中，与3a是同类33a8二次根式的有________．

2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．

三、综合提高题

1．在8、41445）的值． 1．已知5≈2.236，求（80-1）-（3+（结果精确到0.01）

555 2．先化简，再求值．

3y3xxy3）-（4x （6x++36xy），其中x=，y=27．

2xyy

答案: 一、1．C 2．A 1275a 3a3 2．6b-2a

二、1．3a341211 三、1．原式=45-5-5-5=5≈×2.236≈0.45 555552．原式=6xy+3xy-（4xy+6xy）=（6+3-4-6）xy=-xy，

当x=

393，y=27时，原式=-27=-2222

16.3 二次根式的加减(2) 第二课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题．

教学目标

运用二次根式、化简解应用题．

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．

二、探索新知

例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

CQAB

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．

解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．

则有PB=x，BQ=2x 1 依题意，得：x·2x=35 22

x=35 x=35

所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

PQ=PB2BQ2x24x25x2535=57

答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米．

例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．

P

B2mA4mwww.czsx.com.cnD1mC 解：由勾股定理，得

AB=AD2BD2422220=25

BC=BD2CD22212=5

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7 ≈3×2.24+7≈13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．

三、巩固练习

教材P19 练习3 四、应用拓展

例3．若最简根式3ab4a3b与根式2ab2b36b2是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式2ab2b36b2不是最简二次根式，因此把2ab2b36b2化简成|b|·2ab6，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式2ab2b36b2化为最简二次根式：

2ab2b36b2=b2(2a16)=|b|·2ab6

4a3b2ab6 由题意得

3ab22a4b6 ∴

3ab2 ∴a=1，b=1 五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 7．

2．选用课时作业设计．

作业设计

一、选择题

1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）

A．52 B．50 C．25 D．以上都不对

2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）

A．13100 B．1300 C．1013 D．513

二、填空题

1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）

2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）

三、综合提高题

223m22与n14m210是同类二次根式，求m、n的值．

1．若最简二次根式3 2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：

（2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22

反之，3-22=2-22+1=（2-1）2 ∴3-22=（2-1）2 ∴322=2-1 求：（1）322；

（2）423；

（3）你会算412吗？

（4）若a2b=mn，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．

答案: 一、1．A 2．C 二、1．202 2．2+22

2223m24m10m8m22三、1．依题意，得2

，2

， n12n3n3m22m22m22m22所以或

或

或

n3n3n3n32．（1）322=(21)2=2+1

（2）423=(31)2=3+1

（3）412=423(31)2=3-1 mna（4） 理由：两边平方得a±2b=m+n±2mn mnbamn所以

bmn

16.3 二次根式的加减(3) 第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算

（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算: （1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3

=18+24=32+26

解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22

3 =23-

2 例2．计算

（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：（1）（5+6）（3-5）

=35-（5）2+18-65

=13-35

（2）（10+7）（10-7）=（10）-（7）22

=10-7=3 三、巩固练习

课本P20练习1、2．

四、应用拓展

xbxa例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，

bax1xx1x化简+，并求值．

x1xx1x 分析：由于（x1+x）（x1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．

(x1x)2(x1x)2解：原式=+

(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)2(x1x)2=+

(x1)x(x1)x =（x+1）+x-2x(x1)+x+2x(x1)

=4x+2 xbxa ∵=2-

ba ∴b（x-b）=2ab-a（x-a）

∴bx-b2=2ab-ax+a2

∴（a+b）x=a2+2ab+b2

∴（a+b）x=（a+b）2

∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 1、8、9．

2．选用课时作业设计．

作业设计

一、选择题

2 1．（24-315+22）×2的值是（ ）．

3202 A．3-330 B．330-3

33220 C．230-3 D．3-30

33 2．计算（x+x1）（x-x1）的值是（ ）．

A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空题

132 1．（-+）的计算结果（用最简根式表示）是________．

2222．（1-23）（1+23）-（23-1）的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．

3．若x=2-1，则x2+2x+1=________．

4．已知a=3+22，b=3-22，则a2b-ab2=_________．

三、综合提高题

1．化简57

10141521x1x2xx1x2x1 2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表2221x1xxx1xx示）

课外知识

1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．

练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．

834958ab与ab

92C．mn与n D．mn与mn

2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公A．2x与2y B．式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-x22x与1x+1+x22x就是互为有理化因式；x与也是互为有理化因式．

x 练习：2+3的有理化因式是________；

x-y的有理化因式是_________．

-x1-x1的有理化因式是_______．

3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．

练习：把下列各式的分母有理化

1123342； （2）； （3）； （4）．

12351623342nn 4．其它材料：如果n是任意正整数，那么n2=n2

n1n1 （1）nnn3nnn3 理由：n2==n

n1n21n21n21342 练习：填空2=_______；3=________；4=_______．

8153

答案: 一、1．A 2．D

二、1．1-3 2．43-24 3．2 4．42

257三、1．原式＝

25273537157==

232(57)3(57)=-（2-3）=3-2

2．原式＝(x1x2x)2(x1x2x)2(x1)(xx)222

2(x1)2(x2x)22(x1)(x1x)=== 2（2x+1）

x1x11 ∵x==2+1 原式＝2（22+3）=42+6. 21