方差的应用教学设计与反思

《数据的波动程度》教学设计

1、本课选自新人教版《数学》八年级下册第20章

2、《数据的分析》这章书属于“统计与概率”的部分，是在七年级学习了数据的收集、整理与描述的基础上开展的。从内容上看，方差是在已经学***均数刻画数据集中程度的基础学习的，它是一种衡量数据离散程度的量，是今后处理现实复杂数据的基础；从思想方法看，这节课渗透了数形结合、样本估计总体的数学思想。因此，本课在初中数学中有比较重要的地位与作用。 本节课的授课对象为八年级学生，他们正处于形象思维向抽象思维过度的阶段，在教教材分析

学情分析

学中需要采用启发式教学，在知识上，学生已经学***均数刻画数据的集中程度，具有一定的数据处理能力，为本节课的学习奠定了知识和能力基础。

知识与技能

理解方差的概念和意义，会用方差的计算公式来比较两组数据的波动程度。

会用方差的大小对实际问题作出解释，培养解决问题能力。

通过解决生活中的数学问题，培养学生积极参与，合作交流的习惯，通过数据与图形分析，体会数形结合思想，在实例中体会样本估计总体的思想，提高学生数学统计的素养。

学习目标

过程与方法

情感、态度与价值观

学习重点

学习难点

学习方法

学习准备

方差的概念及意义，从方差的计算结果对实际问题作出解释和判断

方差意义的理解及引入方差的必要性

启发式、自主探究式

教师：课前画出数据的散点图

学生：预习

学

习

过

程

设

计

意

图

以贴近学生现实生活的情景引入，一方面可以吸引学生的注意，提高课堂效率，采用小组讨论的方式培养学生的合作交流能力。

1、问题的形式引导学生思考已学知识不能解决所遇到的现实问题，形成学生的认知冲突，进而搭建引入方差必要性的桥梁

学习环节

师

生

主

要

活

动

我校要选拔一名同学参加射击比赛，下列是甲乙两位射击运动员选拔赛中的十次成绩。如果你是教练，该选哪位同学参赛呢？

甲：9，7，7，10，8，7，8，9，7，8 乙：7，5，10，6，9，7，9，9，8，10

问题1 ：选谁去比赛，其实应该考虑两个方面，一是选手的水平，二是心理素质，那么水平高低用什么量来衡量呢？

学生回答：平均数。

师生活动：学生计算两组数据的平均数，教师板书。

追问1：平均数相同，还能作为选择的依据么？

学生回答：不能。

教师活动：所以还必须考虑谁的发挥更稳定？那么，

创设情境

引入新课

自主探究

学习新活动一

提出问题

知

2、让学生明白当两组数据的平均数相近时，为了更好的做出选择需要去了解数据的波动大小，采用数形结合，更直观的展现了数据的波动程度。

甲的成绩

乙的成绩

学生活动：学生观察，得出结论。

3、肯定画出散点图去判断数教师及时评价学生的回答，师生共同总结：甲成绩据波动程度的方法，同时提出的波动程度较小，而乙同学的波动程度较大，因此，甲疑问，学生思考画图的繁琐同学的发挥较稳定，选甲同学参加比赛。

性，进而引出用新的统计量去追问3：非常棒！从图中我们可以非常直观的看出甲表示一组数据的波动程度。

乙两位同学的成绩的波动情况，根据波动情况进行选择。那么，是不是每次遇到平均数相同或接近的时候，都要画出散点图去判断呢？

教师：引导学生画图比较麻烦，且如果数据波动程度比较不明显时，难于判断。

这两组数据哪组的波动程度更小呢，这就是本节课要研究的问题。

追问2：老师把每个数与平均数作比较，画出了两组数据的散点图，你能从散点图中判断谁比较稳定么？

问题2：能否用一个统计量去描述数据的波动程度呢？

追问1：对于两幅散点图，所给数据都在平均数的上下波动，距离大的波动较大。因此数学上用每一个数据与平均数的距离去刻画波动程度。那如何求出它们的距离呢？

教师活动：非常好，可以采用作差的方法。得出

（9-8），（7-8），…，（8-8）。

追问2：那整组数据的波动程度如何求呢？

学生回答：相加

教师活动：相加就行了吗，确定吗？我们来看这两个数（9-8），（7-8），一正一负，他们相加等于多少？

学生回答：0 教师活动：0不就是代表没有波动吗？而散点图中这两个数据在平均数的上下波动的，所以相加会使正负数抵消。那如何来解决这种情况呢？

教师个别提问，取平方或者取绝对值，这节课先研究平方的形式。

1、从散点图出发，从特殊到一般，层层推进，分析公式的由来，利于学生建构知识框架，加深对公式的认识。

活动二

探究新知

追问3：平方就可以衡量数据的波动程度了吗？比如

说，要比较两个班的学习成果，一班人数为50人，二班2、充分预设在课堂上学生容人数为60人，我能用他们的总成绩比较吗？为什么？

易出现的疑惑，设置问题链的学生回答：不能，因为人数不一样。

形式引导学生思考，达到了新追问4：那如何进行比较呢？

课标中以学生为主体的课程学生回答：取他们的平均数。

基本理念。

教师活动：同样的道理，我们这组数据是用平均数

还是用总和来衡量波动程度呢？引导学生采用平均值的

1

982782,,882，

方法，得出

10用来衡量数据的波动程度，数学上把它叫做这组数据的

2方差，用s表示。那么对于一组数据x1,x2,，xn，它

2221

2x1xx2xxnx。

的方差为s

n问题3：既然方差是用来衡量数据的波动程度的，那

方差的大小与波动程度有什么关系呢？

学生活动：小组讨论，得出猜想，派代表回答。

猜想：方差越大，数据的波动越大；

方差越小，数据的波动越小。

追问5：如何来验证你们的猜想呢？

3、由公式的结构猜想方学生回答：代入数据。

差与数据的波动程度之间的下面我们利用方差来分析甲乙两位同学十次成绩的波动关系，让学生经历“观察—猜程度。

想—验证”的数学过程，培养两组数据的方差分别是

学生的合情推理能力，通过小1组活动的方式自主探索，培养982782,,8821.2

s2甲学生合作交流能力和归纳能101力。

782582,,10822.6

s2乙得出98,78,，88

22210显然s2甲s2乙，与散点图对比，甲同学的方差小，数据波动也小，乙同学的方差大，数据波动也大。

因此，我们的猜想是正确的。

得出方差与数据波动的关系：

方差越大，数据的波动越大；

方差越小，数据的波动越小。

因此按照样本估计总体的思想，甲在比赛是相对会更加稳定，我们应该选甲去参加比赛。

活动三

牛刀小试

1

计算下列各组数据的方差，并比较两组数据的波动程度。

（1）

6

6

6

6

6；

（2）

5

5

6

7

7；

加强全体学生对新知的理解，让后进生得到成功学习的体验，确保“人人都能获得良好的数学教育”。

师生活动：教师重点关注应在于学生能否正确运用方差计算公式计算方差，关注学生是否会判断判断各种数据间的离散程度。

例1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：

甲

163 164 164 165 165 166 166 167 乙

163 165 165 166 166 167 168 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？

师生活动：引导学生分析：

（1）题目中“整齐”的含义是什么？学生通过思考可以回答出整齐即身高的波动小，所以要研究两组数据的波动大小，即求方差

（2）在求方差之前先要求哪个统计量？（平均数）

（3）老师板书解题过程，学生和老师一起计算、判断、解决问题。

解：甲、乙两团演员的身高平均数是

活动四

例题讲解

方差分别是

师生活动：教师根据例题的解题步骤，引导学生归纳应用方差解决实际问题的一般步骤：

（1） 求每组数据的平均数。

（2） 求方差。

（3） 比较方差的大小，确定稳定性。

1。（2016·钦州中考）某校甲乙两个体操队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差是

强化训练

1、强化方差的应用，规范利用方差解决实际问题的书写格式，使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用于实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识。

2、归纳应用方差解决实际问题的一般步骤，培养学生的归纳能力。

加深难度，深化新知的应活动五

s2甲1.9，乙队队员身高的方差是s2乙1.2，那么两队队员身高更整齐的是

队（填“甲”或“乙”）.

2.（2015·来宾中考）在某次训练中，甲、乙两名射

击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于用。给出两道中考题，让学生提前感知方差在中考题中难2222本次训练，有如下结论：①s甲＞s乙；②s甲＜s乙；度，即丰富了课程内容，又满③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，足学生差异化的学习要求，确由统计图可知正确的结论是（

）

保“不同的学生在数学上有着A.①③

不同的发展”。

B.①④

C.②③

D.②④

师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

1．方差怎样计算？

2．你如何理解方差的意义？

3. 本节课我们运用了什么思想方法？

引导学生归纳一节课的内容，形成科学的数学知识体系。

总结升华

布置作业

作业：习题20.2第1题

板书设计

20.2数据的波动程度

一、方差的公式

三、例题

四、练习

二、结论

五、小结与作业

方差是用来衡量一个样本波动大小的量，对于实际上体会一组数据的变化起着至关重要的作用。因此在教学中，切忌将这些概念和公式直接交给学生，要让学生在体会在仅有平均水平还难以刻画一组数据时，使学生现有的知识与现实矛盾产生碰撞时而产生一种急于解决问题的心情，从而一步步探索出方差的概念和公式，使学生在实际问题的解决过程中认识到“波动程度”的意义和影响，形成一定的数据意识和解决问题的能力，进一步一会数学的应用价值。

本节课选用学生熟悉的校园射击比赛作为情境引入，在平均数水平下无法做出选择，引导学生思考：比赛还应该考虑什么因素？进而利用散点图直观的反映两个选手发挥的稳定性，进而得出在平均数相同时还应该考虑选手发挥的稳定性。但在数学中，通过散点图的形式可以直观的反映数据的波动程度，但操作麻烦，因此引出方差的概念，通过与平均数的比较，每个数值与平均数的差就反映的波动的大小，那么整组数据的波动就是每个数据与平均数差的和；但是当两组数据出现一正一负波动大小相同时就会相互抵消，因此取平方的和。当数据的个数不同时，不能准确的衡量波动的大小，因此取平均

课后反思

值。层次递进得出方差的计算公式，避免了直接将公式灌输给学生的方式，有助于学生更好的理解和掌握方差的公式和意义。

针对半节课的特点，我采用了“创设问题情境——发现问题——形成认知冲突，启发学生思考——归纳总结——实际应用”为主线的教学模式，更好的抓住学生学习新知的过程，生生互动，师生互动交互学习，取得了一起的效果。

本节课在各环节及时间的把控中比较成功，但在学生的动手操作即计算上还有很大的提升空间，计算时还应该更加大胆放手让学生去算，提高学生的计算能力。