小结优秀教学设计内容

平面向量小结教学设计

平面向量是既有大小又有方向的量，集数与形为一体，既具有代数形式，又具有几何特征，因此，我们以数形统一的视角全面地审视平面向量，以数形结合的理念引导向量教学，以数形并重的思想指导向量解题。

【教材分析】

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力. 【学情分析】

学生已学完平面向量这一章的知识，但是对本章知识没有系统把握，还不能理解知识并灵活运用知识，因此，本节课对现阶段的高一学生来说尤为重要. 【教学目标】

1.进一步理解向量的有关概念；

2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义；

3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用；

4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系；

5.认识向量的工具性作用，能够用向量解决一些具体问题，加强数学的应用意识. 【教学重点】平面向量知识的理解

【教学难点】对平面向量的理解及应用

【设计理念】通过对知识的整合，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力，鼓励学生积极参与教学活动，倡导积极主动的学习方式. 【教学过程】

一、知识回顾

1.平面向量的有关概念

2.平面向量的运算

（1）向量加法运算 （2）向量减法运算 向量的线性运算

（3）向量数乘运算 （4）平面向量的数量积 3.两个定理

1

向量共线定理 平面向量基本定理

4.两个向量共线与垂直的条件

两个向量共线

两个向量垂直

设计意图：总结概括本章的知识，引导学生回顾知识并重新整合知识，形成知识网络. 二、典型例题

→→例1.

(1)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝→0，则OC等于(

) 2→1→1→2→→→→→A．2OA－OB B．－OA＋2OB C.3OA＋3OB D．－2OA＋3OB

→→→→→→【解析】

方法一：AC＝OC－OA，CB＝OB－OC. →→→→→→→→→∵2AC＋CB＝0，∴2OC－2OA＋OB－OC＝0.∴OC＝2OA－OB.故A正确．

方法二：如图所示，知答案为A.

→→→→→(2)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于________(用向量b，c表示)．

→→【解析】

∵BD＝2DC，

→→→→→→∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)．

→→→∴3AD＝2AC＋AB，

→2→1→21∴AD＝3AC＋3AB＝3b＋3c.

2

→→→→→→→→→例2.

已知点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值是________．

【解析】

方法一：如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝π34，cosA＝，cosC＝，

255→→→→→→∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB

→→→→＝BC·CA＋CA·AB

＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cosC－15cosA 43＝－20×－15×＝－25. 55方法二：如图，建立平面直角坐标系，

则A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)．

→→→∴AB＝(－3，0)，BC＝(0，4)，CA＝(3，－4)．

→→∴AB·BC＝－3×0＋0×4＝0，

→→BC·CA＝0×3＋4×(－4)＝－16，

→→CA·AB＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9. →→→→→→∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝－25. →→→→→→方法三：CA在BC上的投影为数量CB，CA在AB上的投影为数量BA，因此BC·CA＝→2－BC＝－16，

3

→→→2→→CA·AB＝－AB＝－9，AB·BC＝0. →→→→→→∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝－25. →→→→→→方法四：AB·BC＋BC·CA＋CA·AB

→→→→=AB·BC＋BC·（CBBA）＋(CBBA)·AB

=BC·CB+BA·AB

=－25. →→→→→→方法五：AB·BC＋BC·CA＋CA·AB

→→→→→→2＝0＋CA·(BC＋AB)＝CA·AC＝－AC＝－25. →→→方法六：∵AB＋BC＋CA＝0，

→2→2→2→→→→→→→→将其两边平方可得AB＋BC＋CA＋2(AB·BC＋AB·CA＋BC·CA)＝0，故AB·BC＋→→→→1→2→2→2AB·CA＋BC·CA＝－(AB＋BC＋CA)＝－25. 2设计意图：从向量代数形式和几何意义两个方面出发，分别探讨问题的解决过程，从中体会两大解题方法的一些特点和规律，从而优化解题思维，提高解题能力.鼓励学生积极主动学习，共享自己的方法，一题多解体会向量解法. 三、高考演练

1.【2018年全国卷I理6题】在ABC中, AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB= ( ) 31133113ABAC

B. ABAC C. ABAC

D. ABAC

444444442.【2018年全国卷II理4题】已知向量|a|=1，ab=-1，则a(2ab)=（ ）

A. A．4 B. 3 C.2 D.0 3.【2018年全国卷III理13题】已知向量a=（1,2），b=（2，-2），c=（1，）.若c2ab，则=________．

4.【2017年全国卷I理13题】已知向量a，b的夹角为60，a2，b1，则a2b________．

5.【2017年全国卷II理12题】

已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平

4

面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（ ）

A.2 B.34 C.  D.1

232226.【2016年全国卷I理13题】设向量a=(m，1)，2)，且abab，b=(1，则m=________ 7.【2016年全国卷II理3题】已知向量a=(1,m), b(3,-2)且(a+b)b，则m（ ）

A.－8 B.－6 C.6 D.8 13318.【2016年全国卷II理3题】已知向量BA(,),BC(,)

则ABC= 2222A.300 B. 450 C. 600 D.1200

设计意图：直击高考，明确高考考点,从中体会向量知识的应用. 四、课堂小结 通过学习，我们对向量有哪些

知识、方法上的收获？

设计意图：学生总结，提升对向量知识的认识.

五、课后作业

课本P118:1,5；P119,8，9,12,13. 六、板书设计

平面向量章末小结

一、知识梳理

二、典型例题

三、高考演练

例1.

例2

七、教学反思

本节课从生活实例引入，以学生自主学习为主，让学生在轻松愉悦的课堂环境中，共同参与，共同分析，让学生自然地完成本节内容的学习.通过两个典型例题，让学生体会向量的定义法、基底法、坐标法以及几何意义法等，紧接着进行高考演练，明确高考考点，提高对向量的认识.课堂内容充实，在引导学生解决问题上和调动学生积极性上有些欠缺，学生基础相对差，以后应该多鼓励学生积极参与数学活动.

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