2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课一等奖

必修四§2.3.2—§2.3.3 《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》的教学设计

一、教材分析

本节课在平面向量基本定理的理论基础上，通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示——坐标表示，指出平面直角坐标系内任一向量都可以用一个有序实数对唯一表示．然后导出向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，实现向量运算到数的运算的转化，为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，促使我们对图形的研究推进到了有效能算的水平．因此，本节课是后面用“数”的运算研究平面内点、线间几何关系的学习基础．

二、教学目标

掌握平面向量的正交分解及坐标表示的概念，掌握平面向量的坐标运算，让学生体验由一般到特殊的认知规律以及数形结合的思想，培养学生的应用意识，感受平面向量的正交分解与现实的联系．

三、教学重点与难点

重点：平面向量的坐标运算

难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 四、教学方法

教法选择：引导发现法和学生自主探究法

教学支持：多媒体、实物投影仪

五、教学过程

【复习回顾】

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

【新课引入】

向量的正交分解是物理中的一个重要概念，例如：火箭的速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；光滑斜面上的木块受到到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，即重力G＝F1＋F2．重力G＝F1＋F2叫做把重力G正交分解．

概念：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

在平面上，选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．

【三层探究

构建新知】

探究活动一：平面向量的坐标表示

问题1：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．分别用向量i、j表示向量a、b、c、d．

易得：

问题2：类比直角坐标下点的坐标表示，可否定义平面内任意一个向量a的坐标？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，

由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj…………①

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作：a(x,y)…………②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)．

问题3：写出下图中各向量的坐标（课本例2）

探究活动二：平面向量OA的坐标与点A坐标的关系

问题4：如图，任意拖动点A，求不同位置下的向量OA的坐标和点A的坐标，由此得到它们之间有何关系？

结论：以原点为起点的有向线段表示的向量坐标就是其终点坐标．即OA(x,y)A(x,y)

小结：如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定．

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示．

探究活动三：平面向量的坐标运算

问题5：已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，你能得出ab，ab，a的坐标吗？

设基底为i、j，则

ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

也就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．

a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

也就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

问题6：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点和终点坐标之间的有什么关系？

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，

即：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 【知识运用】

例1已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标．

例2 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点．

解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，

2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，

6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，

0) 例3已知三个力F1

(3，

4)，

F2(2，

5)，

F3(x，

y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标．

解：由题设F1+F2+F3=0

得：(3，

4)+ (2，

5)+(x，

y)=(0，

0) 32x0x5即：

∴

∴F3(5，1) 45y0y1【练习巩固】

1．若M(3，－2)

N(－5，－1) 且

MP1MN，

求P点的坐标

22．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则AB2BC=

. 3．已知：四点A(5，

1)，

B(3，

4)，

C(1，

3)，

D(5，－3) ，

求证：四边形ABCD是梯形．

【课堂小结】

1、平面向量坐标表示的定义，向量坐标运算法则；

2、向量运算代数化、数形结合思想的理解．

【课后作业】

课本P101

A组1、2、3、4