2.5.2 向量在物理中的应用举例教学设计第一课时

2.5.2

向量在物理中的应用举例

教学目标：

1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具. 3.培养运用向量知识解决物理问题的能力. 教学重点：培养运用向量知识解决物理问题的能力

教学难点：培养运用向量知识解决物理问题的能力

例1

(1)在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.

→→→解

如图，两根绳子的拉力之和OA＋OB＝OC，

→→且|OC|＝|OG|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，

则∠OAC＝90°，

→→从而|OA|＝|OC|·cos30°＝1503(N)，

→→|AC|＝|OC|·sin30°＝150(N)，

→→所以|OB|＝|AC|＝150(N). 答

与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N. (2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向. 解

建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，

设帆船行驶的速度为v，

则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10，103)，向量v2＝(20，0)，

则帆船的行驶速度为

v＝v1＋v2＝(10，103)＋(20，0)＝(30，103)，

所以|v|＝302＋1032＝203(km/h). 1033因为tanα＝＝(α为v和v2的夹角，且为锐角)，

303所以α＝30°，

所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203km/h. 跟踪训练1

河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103km/h，求小船的实际航行速度. →→解

设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作OA＝a，OB＝b，→→→→→以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图，则OC＝a＋b，并且OC即为小船的实际航行速度.

→∴|OC|＝a＋b2＝a2＋b2＝20(km/h)，

103tan∠AOC＝＝3，

10∴∠AOC＝60°，

∴小船的实际航行速度为20km/h，按北偏东30°的方向航行. 例2

已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0). (1)求力F1，F2分别对质点所做的功；

(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功. →解

(1)AB＝(7，0)－(20，15) ＝(－13，－15)，

→W1＝F1·AB＝(3，4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，

→W2＝F2·AB＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3. ∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3. →→(2)W＝F·AB＝(F1＋F2)·AB

＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102. ∴合力F对质点所做的功为－102. 解

以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.

则F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，

F3＝(－3，33)，

所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2，2＋43). 又因为位移s＝(42，42)，

所以合力F所做的功为W＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×42＝42×63＝246(J). 即合力F所做的功为246J.

1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为______N.

答案

10 解析

设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，

且|F1|＝|F2|. ∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，

∴每根绳子的拉力都为10N.

2.已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J. 答案

300 解析

W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉

＝6×100×cos60°＝300(J). 3.一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min. 答案

3 解析

∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，

|v1|＝20km/h，|v2|＝12 km/h，

∴|v|＝|v1|2－|v2|2

＝202－122＝16(km/h). 0.8∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min). 16∴该船到达B处所需的时间为3min. 4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向. 解

如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为23km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是3km/h.

小结：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象. 课堂练习：

一、选择题

1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2

成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(

) A.6NB.2NC.25ND.27N 答案

C 2.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(

) A.v1－v2

C.|v1|－|v2| 答案

B 3.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于(

) A.(－1，－2)

C.(－1，2)

答案

D 解析

∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，

∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3，2)－(4，－3)＝(1，2).故选D. 4.用力F推动一物体水平运动sm，设F与水平面的夹角为θ，则力F对物体所做的功为(

) A.|F|·s

C.Fsinθ·s

答案

D 5.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(

) A.53N C.10N 答案

B 解析

如图，有|F1|＝|F|cos60°

B.5N D.52N B.Fcosθ·s

D.|F|cosθ·s

B.(1，－2) D.(1，2) B.v1＋v2

v1D.|| v2

1＝10×＝5(N). 26.已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(

) A.(9，1)

C.(9，0)

答案

A B.(1，9) D.(0，9)

解析

f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，设合力f的终点为P(x，y)，

→→则OP＝OA＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1). 7.河水的流速为5m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(

) A.13m/s

C.17m/s

答案

A 解析

设小船在静水中的速度为v1，

河水的流速为v2，

v1与v2的合速度为v，

∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，

即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，

合速度v指向对岸，

∴静水速度|v1|＝|v|2＋|v2|2＝122＋52＝13(m/s). 二、填空题

8.一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于________. 答案

－40 解析

∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，

∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8). →又∵AB＝(0－1，5－1)＝(－1，4)，

→∴F·AB＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，

即三个力的合力做的功等于－40. 9.一个重20N的物体从倾斜角为θ，斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10J，则θ＝________. 答案

30°

解析

∵WG＝G·s＝|G||s|·cos(90°－θ) ＝20×1×cos(90°－θ)＝10J，

1∴cos(90°－θ)＝，∴θ＝30°. 210.河水的流速为2m/s，一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s. 答案

226 B.12 m/s D.15 m/s

解析

设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2m/s，|v|＝10 m/s. 所以|v2|＝|v－v1|＝v2－2v·v1＋v21

＝100－0＋4＝104＝226(m/s). 三、解答题

11.已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2→→相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0时分别在P0，Q0处，当PQ⊥P0Q0时所需的时间t为多少？

22，3e1＋2e2＝(3，2)，|3e1＋2e2|＝13，

，22解

e1＋e2＝(1，1)，|e1＋e2|＝2，其单位向量为其单位向量为32，，如图. 1313

→→依题意知，|P0P|＝2t，|Q0Q|＝13t，

2→→2所以P0P＝|P0P|·＝(t，t)，

，22→→3，2Q0Q＝|Q0Q|·＝(3t，2t). 1313由P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，

得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，

→→所以P0Q0＝(－1，－3)，PQ＝(2t－1，t－3). →→→→因为PQ⊥P0Q0，所以P0Q0·PQ＝0. 即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2，

→→所以当PQ⊥P0Q0时，所需的时间为2. 12.在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小. 解

如图，用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度.

则v0＋v1表示船实际航行的速度，

∵|v0|＝4，|v1|＝8，

∴|v0＋v1|＝42＋82＝45. 故船实际航行的速度为45千米/小时. 13.质量m＝2.0kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距离.(g＝9.8N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

解

(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为

WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20(J)；

支持力FN与位移方向垂直，不做功，

所以WN＝FN·s＝0；

重力G对物体所做的功为

WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为

W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J). 四、探究与拓展

14.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为(

) A.(－2，4)

C.(10，－5)

答案

C →解析

设点(－10，10)为点A，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则AA1＝(x＋10，y－10)，由题→意可知，AA1＝5ν，

即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，

B.(－30，25) D.(5，－10)

x＋10＝20，x＝10，所以⇒

y－10＝－15y＝－5.

15.在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

→→→解

如图，设AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船实际垂直过江的速度.

→→→因为AB＋AD＝AC，

所以四边形ABCD为平行四边形. →→在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|DC|＝|AB|＝12.5，

→|AD|＝25，

所以∠CAD＝30°，

即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.