复习参考题优秀教案范文

课题：利用图形巧解平面向量小题

浙江省海宁市第一中学

张献峰

教学课时：1课时

教学目标：通过实例引导学生将问题几何化，正确表示题目所涉及的几何图形，通过问题的转化达到解决问题的目的。

教学重点：理清题目的已知条件，读懂题意是解题的前提，通过问题几何化进一步寻求解题的策略是解决问题的重点。

教学难点：如何将题目的已知条件转化为几何图形是解决问题的关键。

内容分析：向量从运算的角度来讲，可分为几何运算、代数运算、坐标运算；从内容上分析，向量的加减数乘运算、数量积知识是核心；从方法来说，向量的教学要突出数形结合的思想。考试要求上往往侧重于平行、垂直等位置关系的研究，主要考查模、夹角、加减数乘运算、数量积等知识。

分析近几年有关平面向量的高考题，已经从单一的向量运算逐渐深化到与其它知识的交汇，不再是简单的向量运算，而是联系到三角函数、解三角形、解析几何等知识，特别是理科的要求比较突出。虽然有些题目凭直观可运算求解，但过程繁琐无从下手，容易走进死胡同。如果从几何图形出发，将题意转化为一些熟悉的问题，却有柳暗花明又一村的感觉。向量几何的属性，决定了教学中要加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系。“数无形时少直观，形无数时难入微”，利用数形结合思想是解决向量问题的一大法宝。

教学过程：

例1．（1）设非零向量a,b满足abab，则

①a,b

；②b与ab的夹角为

．

（2）（2010年浙江会考第17题）若平面向量a,b的夹角为60º，且a2b，则（

）

A．a(ba)

B．a(ba)

C．b(ba)

D．b(ba)

解析：先通过两个小题目引入本节课，初步尝试图解法的直观性。

例2．（2008年浙江卷文16）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则b的取值范围是______．

变式（1）已知a是平面内的单位向量，且a(ba)0，则b的取值范围是______. 变式（2）已知非零向量a,b,c满足b1，a(ba)c(bc)0，则|ac|的最大值为_____ . 解析：进一步利用图形来解决一个高考题，只要找对思路，题目就很简单了，通过变式彻底理清同类的一些问题，下面再举几个例子，以加深对图解法的理解。

例3

（2011年高考数学全国大纲卷理科第12题）设向量a,b,c满足ab1，ab1，2ac,bc60，则c的最大值等于（

）

A．2

B．3

C．2

D．1 例4

（2008年高考数学浙江卷理科第9题）已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则c的最大值是（

）

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A．1

B．2

C．2

D．2

2例5

（2009年高考数学全国卷Ⅰ理科第6题）设a,b,c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为（

）

A．2

B．22

C．1

D．12

解析

这三个题目非常相似，特别是前两题。例3中先画出如图1中同一起点的两单位向量OAa，OBb，且夹角AOB120，再任作向量OCc，由ac,bc60可知ACB60，对角互补，则O,A,C,B四点共圆，点C为优弧AB上一动点，所以当线段OC为直径时，c最大。而在OAB中由余弦定理求得AB3，故直径2R

AB2，得最大值为2。

sinAOBB C B cC B b

O ca

图1 A b

O bab

a

图2 A O a

图3 A 例4类似地可画出如图2中的四边形OACB，而OAB为Rt，又由(ac)(bc)0可知ACBRt，得O,A,C,B四点共圆，点C是圆周上一动点，所以c的最大值为直径2。若用代数推理，从(ac)(bc)0可化简得到c2c(ab)，即

例3还要复杂些，如图1中不妨设射线OC在∠AOBcabcosc,ab2cosc,ab2。的内部，令∠AOC=，由条件知∠AOB=120°，利用

(ac)(bc)1112acbc展开，得acbcccosccos(120)c（*），再222由等积关系SAOBSACBSAOCSBOC得，3311acbcccosccos(120)，4422将（*）式代入左边化简得c2cos(60)，所以当60时，c最大，此时最大值为2。这样解答相当于做一个大题了，推理运算要求非常高，但是从图形分析，非常清晰地显示了问题的实质，其实两题本质上是一致的。例5中可能一时无法显示式子(ac)(bc)的几何关系，故先化简(ac)(bc)，得(ac)(bc)(ab)cc212cosab,c12，当然也可从图3中可以看出单位第

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向量c与ab共线且同向时，(ab)c的值最大，此时(ac)(bc)最小为12。

点评

这三个题目很相似，如何将式子(ac)(bc)用所给条件表示出来，这是一个关键点，例3将例4中的直角换成了120°，更具一般性。当然条件还可以再变换，如将例3中的ab11换成ab，22还是可以从图形去解决。所以有了图形的分析，问题就变得非常直观了，容易得到答案。

例6

（2011年高考数学浙江卷理科第14题）若平面向量,满足边的平行四边形的面积为1,1，且以向量,为邻1，则与的夹角的取值范围是

．

2且与1，例7 （

2010年高考数学浙江卷理科第16题）已知平面向量,(0,)满足的夹角为120°，则的取值范围是_______ .

A D B C 

O 

60





A O



B 图5 图4 解析

例6从代数角度可列出式子Ssin1，由1,1，得

2sin115]。例7也容易先列出()cos120，但接，得[,26622着就感觉无从下手了，事实上由()两边平方得22222()()2，22再转化10，此方程有解，故4(1)0，得023。

3那么从几何图形角度去分析呢，例6中先画出以向量,为邻边的平行四边形（图4），

则其底为OA，长为1，高为11，所以向量的终点B在距离底的平行线上，又由1可知，22向量的终点B在单位圆内及圆周上，即只能在线段CD上运动，容易计算两个端点位置时与的夹角的大小，从而得到了的取值范围。例7中先画出OA，再以A为起点作一向量与成120°（图5），记AB接圆直径2R，则OB，且OB1。构造出这样的图形后，利用正弦定理知，OAB的外OB23为定长，只要当与的夹角为120°不变，也即OAB60保持不sin603第

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变时，点A始终在弦OB所对的优弧上运动，的最大值即为直径长，易得023。当然图形的3构造不唯一，一下子作出图5并非易事，可以尝试先作一个单位圆，画出OA与OB，且向量终点B在单位圆上可以运动（图6），若保持OAB60不变，当点A在x轴正半轴上从原点开始自左向右移动时，只要向量所在直线AB与单位圆有交点时均满足题目条件，当两者相切时（图7），达到最大，即RtOAB中OB1，OAB60，OAy y 2323，所以0。

33B

B

O 



x O 

A x 

A 

图6 图7

点评

以上两题是浙江省的平面向量高考题，事实上几年来全国及各省市高考都在注重平面向量知识的考查，而且有相当的难度，不单是简单的推理计算，更注重知识的应用与联系。试想在高考的气氛下要快速地找到以上如例7的代数思路有一定的难度，它不是简单的向量运算，而是渗透着函数、三角等知识，既有定量又有变量，单纯地从代数角度去思考不容易解决。对于这种题目倘若能把条件正确地转化为几何图形，从几何角度去解答显然比单纯地运算要简单多，因此正确地理解题意，抓住问题的本质，选择适当的方法就能起到事半功倍的效果。

例8

已知非零向量a,b满足b1，且b与ba的夹角为30°，则a的取值范围是

111A．1,

0,

B．,1

C．,

D．222解析

本题与例7有相似之处，涉及到单位向量与夹角等知识，利用a(ba)b，得22aba3ba1(ba3211)，从而选C。但要想到a(ba)b，进一步244ba

C B 利用函数思想转化也实属不易，

如果利用图形将向量b，ba，a之间关系正确表示出来

（如图8），就转化当线段OB长度变化时，求线段AB的

取值范围，显然当两者垂直时即线段AC位置时最短，且可

无限大，这样转化问题自然清清楚楚了，进一步可以变式，

得到如例7的问题，留给读者去解决。

a

A 30°

O 图8 b

变式（1）已知非零向量a,b满足b1，且b与ba的夹角为30°，则a的取值范围是_____ . 变式（2）已知非零向量a,b满足b1，且a与ba的夹角为30°，则a的取值范围是_____ .

变式（3）已知非零向量a,b满足b1，且a与ba的夹角为30°，则a的取值范围是_____ .

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点评

例8题目非常好，本题还可以引申出许多变式题，从图形角度分析，它们的几何背景就一目了然，体现了图形的直观性，有一种“图画完，题解好”的感觉。

教学小结：

（1）通过以上的几例分析可知，平面向量知识的考查逐渐向纵深发展，从单纯地考查长度、角度、加减法、数量积运算到与函数、方程、三角、不等式、解析几何等知识的交汇，题型变化多，难度也在加大。向量知识的客观题解答需要讲究方法与艺术，特别是考试的时候不能“小题大做”，虽然以上所举的例子也能从代数角度去运算，但解答难而费时，如果从图形去分析就比较直观明了，体现了几何直观性解题的优点，当然如何将问题转化为图形关系是解答的关键。

（2）在向量的复习中既要加强对基本知识、基本技能的训练，又要强化与其它数学知识的结合与交汇，特别要体现数形结合思想的解题功能，对一些直觉运算较繁的向量题，尝试从几何图形去转化，有时会迎刃而解。

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