复习参考题名师教学视频（文字实录）

利用两角和与差的三角函数求值

王文杰

类型1

给角求值

[例1]

(1)tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)＝(

)

(2)sin 15°＋cos 165°＝________. tan 10°＋tan 20°3[解析]

（1）∵＝tan 30°＝3，

1－tan 10°tan 20°3∴tan 10°＋tan 20°＝3(1－tan 10°·tan 20°)．

∴原式＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1. （2）

sin 15°＝sin(45°－30°)，

cos 165°＝－sin 75°＝－sin(45°＋30°)．

则原式＝sin(45°－30°)－sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°－(sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°) 212＝－2cos 45°sin 30°＝－2×2×2＝－2. 类型2

给值求值

4π[例2]

(1)若cos α＝－5，α是第三象限的角，则sin（α＋4）＝(

) π1(2)已知函数f(x)＝2sin3x－6，x∈R. 5π①求f4的值；

ππ106②设α，β∈0，2，f3α＋2＝13，f(3β＋2π)＝5，求cos(α＋β)的值．

4[解析]

（1）因为cos α＝－5，α是第三象限的角，

所以sin α＝－35，

所以sinα＋π4π＝sin αcos4＋cos α·sinπ4

＝－3242725×2＋－5×2＝－10. （2）

①由题设，知

f5π＝2sin15πππ43×4－6＝2sin4＝2. ②由题设，知1013＝f3α＋π2＝2sin α，

65＝f(3β＋2π)＝2sinπβ＋2＝2cos β，

即sin α＝5cos β＝313，5，

又α，β∈π0，2，

∴cos α＝12413，sin β＝5，

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝123451613×5－5×13＝65. 类型3

给值求角

[例3]

已知sin α＝5105，sin β＝10，且α，β为锐角，求

[解]

∵α，β为锐角，sin α＝5105，sin β＝10，

α＋β的值．

25∴cos α＝1－sin2α＝5，

310cos β＝1－sinβ＝10，

2∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

531025102＝5×10＋5×10＝2，

51∵0<5<2，α为锐角，∴0°<α<30°，

同理0<β<30°，∴0°<α＋β<60°，

∴α＋β＝45°. 类题小练

1.sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)＝________. 2．tan 20°＋tan 40°＋3 tan 20°tan 40°＝________. π433.已知cos α＝5，sin(α－β)＝－5，且α，β∈0，2，求sin β的值．

π4．已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan2α＋4. 5.已知向量a＝(sin α，cos α)，向量b＝(cos β，sin β)，α，β都是锐角，且a∥b，则α＋β＝________. 116．已知tan(α－β)＝2，tan β＝－7，且α，β∈(0，π)，求2α－β的大小．

2243π3π答案：1，2. 2，3. 3，25. 4，11.

5，2. 6，－4.