2.1.2 系统抽样主要内容及教案内容

3.1.1倾斜角与斜率

1．x轴

方向与直线l

方向所成的角α叫做直线l的倾斜角，当l与x轴平行或重合时倾斜角为

，当l与x轴垂直时，倾斜角为

，直线l倾斜角的范围是

．

下面图(1)中直线l的倾斜角为

，图(2)中直线a的倾斜角为

.

2．当α≠90°时，倾斜角α的

叫做这条直线的斜率，斜率常用k表示，即k＝

.一条直线的倾斜角为60°，则该直线的斜率k＝

.当倾斜角为钝角时，据公式tan(180°－α)＝

(α为锐角)可求斜率，如倾斜角为150°的直线斜率k＝

.若直线l倾斜角为α，斜率为k，则当k≥0时，α的取值范围是

，当k<0时，α的取值范围是

．

3．点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上的两点，若x1≠x2，则直线l的斜率k＝ .若x1＝x2则k

．过点A(1,2)，B(－1,0)的直线的斜率为

，过点C(2,1)，D(5,1)的直线斜率为

；过点(－1,2)，(－1,3)的直线斜率为

．

4．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在同一直线上且x1、x2、x3互不相等，则直线AB与直线BC的斜率kAB、kBC的关系为

. 直线l经过三点A(1,1)，B(－1，y)和C(2,3)，则y＝

. 已知两点求斜率：

[例1]

经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．

(1)(1，－1)，(－3,2)；

(2)(1，－2)，(5，－2)；

(3)(3,4)，(－2，－5)；

(4)(3,0)，(3，

3

)．

练习：已知直线l经过点A(－1,2)和B(x,3)，其斜率为－2，则x＝________. 已知直线的倾斜角求斜率：

[例2]

求倾斜角为下列数值的直线的斜率．

(1)α＝30°；(2)α＝45°；(3)α＝135°；(4)α＝0°.

判断倾斜角的大小：

[例3]

求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．

(1)(1,1)，(2,4)；

(2)(－3,5)，(0,2)；

(3)(4,4)，(4,5)；

(4)(10,2)，(－10,2)．

[例4]

已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如下图所示，则(

) A．k1

B．k3

D．k1

[例5]

如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1、l2的斜率．

3.1.2两条直线平行与垂直的判定

两直线l1,l2的斜率存在为k1,k2，若l1∥l2，则

若l1⊥l2，则

考虑：若两直线平行或垂直时，能够得出什么结论？

例1：已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1)，Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系。

例2：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0,0），B（2，-1），C(4,2), D(2,3),试试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

例3：已知A（-6,0）B（3,6）P（0,3）Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系

例4：已知A（5，-1）B（1,1）C（2,3）三点，试判断三角形ABC的形状

【练习】

1．直线3x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是(

) A．相交

B．平行

C．重合

D．垂直

2．直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是(

) A．(－2，－1)

B．(－1，－2)

C．(1,2)

D．(2,1) 3．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0垂直，则a的值为(

) A．2

B．－3或1

C．2或0

D．1或0 4．如右图所示，直线l的倾斜角是(

)

A．0°

B．90°

C．∠CAB

D．∠OAB

5.斜率不存在的直线一定是(

) A．过原点的直线

B．垂直于x轴的直线

C．垂直于y轴的直线

D．垂直于过原点的直线

6.直线l的倾斜角α＝135°，则其斜率k等于(

) A.23

B.

C．－1

22D．1 7.过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y等于(

) A．－1

B．－5

C．1

D．5 8.①直线l的倾斜角是α，则l的斜率为tanα；②直线l的斜率为－1，则其倾斜角为45°；③与坐标轴平行的直线没有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率．上述命题中，正确的个数为(

) A．0个

B．1个

C．2个

9.直线l的倾斜角是斜率为D．3个

3的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(

) 3D．－3 23A．1

B.3

C.

310.

下列命题

①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；

②如果两直线平行，则它们的斜率相等；

③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；

④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1. 其中正确的为(

) A．①②③④

C．②④

B．①③

D．以上全错

11．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________. 12．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________. 13.. 若直线l1：xay60与直线l2：(a2)x3y2a0平行，则a的值为______________ 14.

已知两点P(m,2)，Q(1＋m,2m－1)所在直线的倾斜角为45°，则m的值等于________．

15.

设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．

解答题

16.

已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线

17. 直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．

18．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角(1)A(0，－1)，B(2,0)；(2)P(5，－4)，Q(2,3)；(3)M(3，－4)，N(3，－2)．

19．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．

(1)求点D的坐标；

(2)试判定▱ABCD是否为菱形？

20．(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12? (2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是60°？