2.1.2 向量的几何表示PPT专用教学设计内容

必修四

第二章

平面向量

2．2．2

向量的减法

教学目的：

知识目标：

掌握向量的减法运算，并理解其几何意义

通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 能力目标：

让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

情感目标：

通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

教学重点：向量减法的定义及几何意义

教学难点：向量减法的定义及几何意义

教学过程：

导入新课

思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课. 思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现. 提出问题

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？

③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算

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的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a. 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0. 所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形法则

如下图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b. 又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法

(2)三角形法则

如上图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.

讨论结果:①向量也有减法运算. ②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量. 与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a. ③向量减法的定义.我们定义

a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 规定:零向量的相反向量是零向量. ④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现. 提出问题

①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么? 2

②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢? 讨论结果:①AB=b-a.. 应用示例

如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.

活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量. 作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d. 变式训练

(2006上海高考)

在ABCD中,下列结论中错误的是(

) A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确. 答案:C 例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?

图4 活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系. 解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b, 同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b. 变式训练

1.(2005高考模拟)

已知一点O到于(

) 3 ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等

A.a+b+c B.a-b+cC.a+b-c

D.a-b-c

解析:如上图,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c, 结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c. 答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b. ①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？

②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？

④a+b与a-b可能是相等向量吗？

解析:如图,用向量构建平行四边形,

其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b. 由此问题就可转换为: ①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|) ②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直) ③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等) ④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同

点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟. 例3 判断题: (1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.

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(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0. (3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点. (4)|a+b|≥|a-b|. 活动:根据向量的加、减法及其几何意义. 解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同; 若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量, 此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥. (2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论. (3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形. (4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定. 当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|; 当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|. 综上所述,只有(2)正确. 例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是(

) A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13) 解析:BC=AC-AB. (1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3; (2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13; (3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13. 综上,可知3≤|BC|≤13.

答案:C 点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解. 变式训练

已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0. 知能训练

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课本本节练习

解答: 1.直接在课本上据原图作(这里从略). 2.DB,CA,AC,AD,BA. 点评:解题中可以将减法变成加法运算,如AB-AD=DA+AB=DB,这样计算比较简便. 3.图略. 课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.

课后作业

板书设计：

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