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第23讲

三角函数的图象与性质

夯实基础

【p51】

【学习目标】

1．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象．

2．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，理解A、ω、φ的物理意义．

3．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin x图象间的变换关系．

4．会由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象或图象特征求函数的解析式．

【基础检测】

π1．函数y＝2cos2x－－1是

(

) 4A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

πC．最小正周期为的奇函数

2πD．最小正周期为的偶函数

22πππ【解析】因为y＝2cos2x－－1＝cos2x－＝sin 2x为奇函数，T＝＝π，所以242选A.

【答案】A

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象所示，则(

) ππA．y＝2sin2x－

B．y＝2sin2x－

63ππC．y＝2sinx＋

D．y＝2sinx＋

63【解析】由图可得：函数的最大值为2，最小值为－2，故A＝2，

Tππ＝＋，故T＝π，ω＝2，

236故y＝2sin(2x＋φ)，

π2π将，2代入可得：2sin＋φ＝2，

33π则φ＝－满足要求，

6π故y＝2sin2x－，故选A.

6【答案】A

3．已知函数f(x)＝1－3sin 2x＋2cos2x，则函数y＝f(x)的单调递减区间为________．

π【解析】因为f(x)＝1－3sin 2x＋2cos2x＝2＋cos 2x－3sin 2x＝2＋2cos2x＋，当3πππ2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z时函数单调递减，所以递减区间是－＋kπ，＋kπ336(k∈Z)．

ππ【答案】－＋kπ，＋kπ(k∈Z)

36ππ4．已知函数y＝sinx－cosx－，则下列判断正确的是(

) 1212π，0

A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是12πB．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是12，0

πC．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是6，0

πD．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是6，0

2πππ1π【解析】因为y＝sinx－cosx－＝sin2x－，故此函数的最小正周期T＝2612122πkππ＝π，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以此函数图象的对称中心为6212π＋kπ，0(k∈Z)，所以当k＝0时，

它的一个对称中心为π，0，故选B. 12212【答案】B π15．将函数y＝sinx＋的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再往上平移261个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增(

) ππππA.－，

B.－，

3622πππ2C.－，

D.－，π

3363π1【解析】将函数y＝sinx＋的图象上各点的横坐标变为原来的，可得y＝26πππsin2x＋，再往上平移1个单位，得函数y＝sin2x＋＋1的图象，令－＋2kπ≤2x266ππππ＋≤＋2kπ，k∈Z，解得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，单调递增区间6236ππ为－，，故选A.

36【答案】A 【知识要点】

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

π正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，1，(π，0)，23π，－1，(2π，0)．

2π余弦函数y＝cos

x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，0，__(π，23π－1)__，，0，(2π，1)．

22．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数

图象

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

定义域

值域

R

R

__[－1，1]__

__[－1，1]__

ππ在[－＋2kπ，＋2k22在[－π＋2kπ，2kπ单

π](k∈Z)上递增；在[2kπ](k∈Z)上递增；在[2调

π，π＋2kπ](k∈Z)上3π性

＋2kπ，＋2k递减

2π](k∈Z)上递减

π当x＝＋2kπ(k∈Z)2当x＝2kπ(k∈Z)时，π最值

ymax＝1；当x＝π＋2k时，ymax＝1；当x＝－2π(k∈Z)时，ymin＝－1

＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1

奇偶性

__奇函数__

__偶函数__

对称

π＋kπ，0

(kπ，0)(k∈Z)(k∈Z)

2中心

对称轴

πx＝kπ(k∈Z)

x＝＋kπ(k∈Z)

2方程

周期

2π

__2π__

3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象

{x|x∈R且x≠

π＋kπ，k∈Z}

2R

ππ在(－＋kπ，＋k22π)(k∈Z)上递增

__奇函数__

kπ，0(k∈Z)

2

__π__

其中相位变换中平移量为__|φ|__个单位，φ＞0时，向__左__移，φ＜0时，向__右__1移；横向伸缩变换中的纵坐标不变，横坐标变为原来的____倍；振幅变换中，横坐标不变，ω而纵坐标变为原来的__A__倍．

4．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，__A__叫做振2π1幅，T＝____叫做周期，f＝____叫做频率，__ωx＋φ__叫做相位，__φ__叫做初相．

T|ω|5．根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

最高点纵坐标－最低点纵坐标①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；

2最高点纵坐标＋最低点纵坐标②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；

22π③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；

ω④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k取开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为

φφ－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.

ωω典

例

剖

析

【p52】

考点1

画三角函数图象及图象变换

例1已知函数y＝cos 2x＋3sin 2x＋1，x∈R. (1)求它的振幅、周期和初相；

(2)该函数的图象是由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？

(3)用五点法作出它一个周期范围的简图．

【解析】(1)函数y＝cos 2x＋3sin 2x＋1，x∈R

，

π所以y＝2sin2x＋＋1，

6π2π它的振幅为A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.

26(2)①y＝sin x的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x.

1②y＝2sin x的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y＝2sin 2x.

2ππ③y＝2sin 2x沿x轴向左平移个单位，得到y＝2sin2x＋.

126π④y＝2sin2x＋沿y轴向上平移1个单位，得到

6πy＝2sin2x＋＋1.

6ππ5π2π11π(3)选取－，1，，3，，1，，－1，12612312，1五个点，用“五点法”能作出它一个周期范围的简图．

【小结】“五点法作图”应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)或y＝Acos(ωx2π＋φ)(A>0，ω>0)的形式；②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特ω殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．

考点2

由图象求三角函数解析式

例2已知函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(ω>0)的部分图象如图所示．

(1)求a、b、ω的值；

ππ(2)求函数g(x)＝fx－－fx＋的单调递增区间．

121211π5π【解析】(1)由题设图象知，周期T＝212－12＝π，

2π∴ω＝＝2，f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，

T5π由f(0)＝1，f＝0，得a＝3，b＝1，

12所以a＝3，b＝1，ω＝2.

π(2)由(1)得f(x)＝2sin2x＋，

6ππππ5ππ∴g(x)＝2sin2x－.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k23212123∈Z，

π5π∴g(x)的单调递增区间是kπ－，kπ＋，k∈Z.

1212【小结】该题型考查通过图象得到三角函数周期T对应点等的值，从而得到函数解析式．

考点3

由三角函数图象的性质求解析式

ππ例3已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象关于点B－，0对称，24ππ点B到函数y＝f(x)的图象的对称轴的最短距离为，且f＝1.

22(1)求A，ω，φ的值；

1(2)若0<θ<π，且f(θ)＝，求cos 2θ的值．

32ππ【解析】(1)依题意有＝4×＝2π，∴ω＝1.

2ωπππ又f－＝Asin－＋φ＝0，∴sinφ－＝0.

444ππππ∵0<φ<，∴－<φ－<，

2444ππ∴φ－＝0，∴φ＝.

44πππ2又f＝Asin＋＝A＝1，∴A＝2.

2242π11(2)f(θ)＝2sinθ＋＝sin θ＋cos θ＝⇒1＋2sin θcos θ＝⇒2sin θcos θ＝－3948<0.

9∵0<θ<π，∴sin θ>0，cos θ<0，

17∴cos θ－sin θ＝－1－2sin θcos θ＝－，

3

17.

9【小结】本题的关键是用好两个对称即点对称和线对称．

∴cos 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝－方

法

总

结

【p53】

1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．

2π2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正|ω|π周期为. |ω|3．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝Asin t的性质．

4．对于已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．

走

进

高

考

【p54】

sin 2x1．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为(

) 1－cos xA.

B.

C.

D.

sin 2x，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，

1－cos xsin（－2x）－sin 2x又f(－x)＝＝＝－f(x)，

1－cos（－x）1－cos xsin 2x所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；

1－cos x3πsin4sin π－1π3π因为f＝＝0，f＝＝<0，所以排除A；

24πcos 3π21－cos1－1＋242sin 2πf(π)＝＝0，排除D，故选C. 1－cos π【答案】C

2．(2017·山东)函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(

) π2πA.

B.

C．π

D．2π

232ππ【解析】因为y＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋，所以其最小正周期T＝＝π，故23【解析】由题意，令函数f(x)＝

选C.