2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示ppt配用优秀教学设计

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教学目标

1．理解平面向量的基本定理，会作出由已知一组基底所表示的向量；

2．理解向量夹角及垂直的概念；

3．理解向量的正交分解，感受正交分解的实际意义，掌握向量的坐标表示。

教学内容：

§2.3平面向量的基本定理及坐标表示（1）

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摘要与反思本节重点

本节难点

教学模式

教学过程

主

要

内

容

及

板

书

平面向量的基本定理，向量的正交分解及坐标表示平面向量的基本定理

主

要

内

容

及

板

书

摘要与反思

一．复习旧知，设问引入

1．设e1,e2是不共线的向量，而e14e2，ke1e2共线，则实数k＝

．

2．思考（P103思考）给定平面内任意两个向量e1、e2，请你作出向量

3e12e2、

e12e2。平面内的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示呢？

二．探究新课

1．在黑板上画出两个不共线的向量e1,e2及任一向量a，如图，请学生回答：能否用向量e1,e2表示向量a？如何表示？

在平面内任取一点Ｏ，作OAe1,OBe2,OCa．过Ｃ作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点Ｃ作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．则有且只有实数1,2，使得OM1e1，ON2e2，所以a1e12e2，也就是说，任一向量a，可以表示成形式．并且可以证明1,2是唯一的．

2．平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数e2

e1

a O N C B A M 1e12e2的1,2，使a1e12e2．

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3．基底概念：我们把不共线的向量e1,e2，叫做表示这一平面内所有向量的基底．

追问：（1）若e1,e2共线，情况会怎样？

（2）若e1,e2不共线，如何衡量它们的位置关系？（夹角）

4．夹角的概念：规定，已知两个非零向量a和b，作OAa,OBb，则AOB(0180)叫做向量a和b的夹角。

（1）0时，a和b同向；（2）180时，a和b反向；

（3）90时，a和b垂直，记作ab．

例1．已知向量e1,e2，（如图），求作向量2.5e13e2．（见Ｐ10４

例１）

例２．（１）平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且ABa,ADb，

用a,b表示AM,MB,CM,MD．

（总结中点公式：向量AB,AD共起点Ａ，Ｍ是BD的中点,则AM1(ab)．）

2（２）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，Ｅ、Ｆ分别是AD、BC边的中点，且BC=3AD，BAa,BCb．试以a,b为基底表示EF,DF,CD．

解：（略）

（EFＡ

a Ｂ

b Ｃ

Ｆ

Ｅ

Ｄ

11ba,DFba,

362CDab) 3４．向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

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例3．如图，用基底i,j分别表示向量a,b,c,d，并写出它们的坐标．

5．平面向量的坐标表示

（说明：a(x,y)，是向量a的坐标表示，向量多了一种表示法．）

[]显然i(1,0),j(0,1),0(0,0)

[]在直角坐标系中，分别取x轴，y轴方向的单位向量i,j作基底．任一向量a，由平面向量的基本定理，有且只有一对实数x,y，使得axiyj，我们把(x,y)叫向量a的直角坐标，简称坐标，记作

a(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

①相等向量的坐标相同；

在平面直角体系中，每一个向量可用一个有序实数对唯一表示，即一个平面向量就是一个有序实数对．

（2）正交分解及坐标表示．

作业：P112/B组

3 ，4

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

§2.3.1 平面向量基本定理

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点：平面向量基本定理

]教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、

复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

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（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

]2．运算定律

结合律：λ(μa)=(λμ)a

；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，

λ(a+b)=λa+λb

3. 向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa. 二、讲解新课：

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2. 探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

三、讲解范例：

例1

已知向量e1，e2

求作向量2.5e1+3e2. 例2

如图

ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD

例3已知

ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE

例4（1）如图，OA，OB不共线，AP=tAB

(tR)用OA，OB表示OP. OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且

（2）设OA、OP(1t)OAtOB(tR).求证：A、B、P三点共线.

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例5

已知

a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数、,使dab与c共线. 四、课堂练习：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有(

) A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于(

) A.3

B.-3

C.0

D.2 4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1=

. 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线). 五、小结（略）

六、课后作业（略）：

七、板书设计（略）

八、课后记：

第5课时

§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

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1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 中小学教育资源站

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设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)= (x2 x1，

y2 y1) （3）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

三、讲解范例：

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 例2 已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，

2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，

6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，

0) 例4已知三个力F1

(3，

4)，

F2(2，

5)，

F3(x，

y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标. 解：由题设F1+F2+F3=0

得：(3，

4)+ (2，

5)+(x，

y)=(0，

0) 即：32x0x5

∴

∴F3(5，1) 45y0y1四、课堂练习：

1．若M(3，

-2)

N(-5，

-1) 且

MP1MN，

求P点的坐标

22．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则AB2BC=

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3．已知：四点A(5，

1)，

B(3，

4)，

C(1，

3)，

D(5，

-3) ，

求证：四边形ABCD是梯形. 五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

八、课后记：

第6课时

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 2．平面向量的坐标运算

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，

则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y). 中小学教育资源站

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若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

二、讲解新课：

a∥b

(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

设a=(x1，

y1) ，b=(x2，

y2)

其中ba. x1x2由a=λb得，

(x1，

y1) =λ(x2，

y2)



消去λ，x1y2-x2y1=0

y1y2[来探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，

y2有可能为0，

∵b0

∴x2，

y2中至少有一个不为0 （2）充要条件不能写成y1y2

∵x1，

x2有可能为0 x1x2ab

x1y2x2y10(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b

(b0)三、讲解范例：

例1已知a=(4，2)，b=(6，

y)，且a∥b，求y. 例2已知A(-1，

-1)，

B(1，3)，

C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.

例3设点P是线段P1P2上的一点，

P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). (1)

当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

例4若向量a=(-1，x)与b=(-x，

2)共线且方向相同，求x 解：∵a=(-1，x)与b=(-x，

2) 共线

∴(-1)×2- x•(-x)=0 

∴x=±2

∵a与b方向相同

∴x=2

例5

已知A(-1，

-1)，

B(1，3)，

C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-1)，

3-(-1))=(2，

4)

，

CD=(2-1，7-5)=(1，2) 中小学教育资源站

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又

∵2×2-4×1=0

∴AB∥CD

又

∵

AC=(1-(-1)，

5-(-1))=(2，6) ，AB=(2，

4)，2×4-2×60

∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线

∴AB与CD不重合

∴AB∥CD 四、课堂练习：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（

）

A.6

B.5

C.7

D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（

）

A.-3

B.-1

C.1

D.3 3.若AB=i+2j，

DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（

）

A.1，2

B.2，2

C.3，2

D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=

. 5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为

. 6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=

. 五、小结

（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

八、课后记：

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