探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计案例

4.8

正弦函数、余弦函数的图像和性质

（一）教学具准备

直尺、投影仪．

（二）教学目标

1．理解

，

的周期性概念，会求周期．

的周期为

的一般格式．

2．初步掌握用定义证明（三）教学过程

1．设置情境

自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角

的终边每转一周又会与原来的位置重合，故

，

的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题）

2．探索研究

（1）周期函数的定义

引导学生观察下列图表及正弦曲线

0

1 0 －1 0 1 0 －1 0

0

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．

联想诱导公式

，若令

则

，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

对于函数

，如果存在一个非零常数

，使得当

取定义域

叫做周期函数，内的每一个值时，都有

，那么函数非零常数

叫做这个函数的周期．

如

，

，…及

，

…都是正弦函数的周期．

注意：周期函数定义中

有两点须重视，一是

是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．

师：请同学们思考下列问题：①对于函数

能否说

是正弦函数

，

的周期．

有

生：不能说

是正弦函数但不是对定义域的每一个值都使等式合周期函数的定义．

②

的周期，这个等式虽成立，

成立，所以不符

是周期函数吗？为什么

，即

（不

不是周期函数．

生：若是周期函数，则有非零常数

，使

，化简得

，∴

（不非零），或是常数），故满足非零常数

不存在，因而

思考题：若

为

的周期，则对于非零整数

，

也是的周期．（课外思考）

（2）最小正周期的定义

师：我们知道…，周期，可以证明是

（

，

且

，

）是

，

…都是正弦函数的

的周期，其中

的最小正周期．

，如果在它所有的周期中存在

的最小正周期．

一般地，对于一个周期函数一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做

今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．

依据定义，

（3）例题分析

【例1】求下列函数的周期：

（1）

，

；

（2）

，

；

和

的最小正周期为

．

（3）

，

．

．

分析：由周期函数的定义，即找非零常数

，使

解：（1）因为余弦函数的周期是

，所以自变量

只要并且至少要增加到

，余弦函数的值才能重复取得，函数

，

的值也才能重复取得，从而函数

，

的周期是

．

即

，∴

，

，

（2）令

，那么

必须并且只需

，且函数

的周期是

，就是说，变量

只要并且至少要增加到函数

，

的值才能重复取得，而

所以自变量

只要并且至少要增加到

，函数值就能重复取得，从而函数

，

的周期是

．

即

∴

（3）令

，

，那么

的周期是

必须并且只需

，由于

，且函数

，函数值

，所以自变量

只要并且至少要增加到才能重复取得，即

是能使等式

，成立的最小正数，从而函数

的周期是

．

而

∴

师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量

的系数有关，其规律如何？你能否求出函数

，的周期？

，

及函数

，

）

（其中

，

，

为常数，且

生：

∴

．

同理可求得

【例2】求证：

（1）

的周期

．

的周期为

；

（2）

的周期为

；

（3）

的周期为

．

分析：依据周期函数定义

证明．

证明：（1）

∴

的周期为

．

（2）

∴

的周期为

．

（3）

∴

的周期为

．

3．演练反馈（投影）

（1）函数

的最小正周期为（

A．

B．

C．

D．

）

（2）

的周期是_________

（3）求参考答案：

的最小正周期．

（1）C；（2）

∴

（3）欲求成易求周期的函数

的周期，一般是把三角函数

或

化

的形式，然后用公式

求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．

由

4．总结提炼

（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．

（2）设为无限集，②

（3）只有可用公式说它的周期为

，

．若

为

；③

或

的周期，则必有：①

在

上恒成立．

型的三角函数周期才

，就不能

，不具有此形式，不能套用．如

．

（四）板书设计

课题

1．周期函数定义

的周期两点注意：

思考问题①② 练习反馈

总结提炼

的周期 例2 2．最小正周期定义

例1