复习参考题教学设计(第一课时)

人教A版高一数学必修四教案

第三章 三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换

目录

1 教学目标

......................................................................................................................................... 1

2 教学重点/难点

............................................................................................................................. 1

教学重点： ............................................................................................................................... 1

教学难点： ............................................................................................................................... 2

3 专家建议

......................................................................................................................................... 2

4 教学方法

......................................................................................................................................... 2

5 教学过程

......................................................................................................................................... 2

5.1温故知新、引入课题

.................................................................................................... 2

5.2 新知探究

........................................................................................................................... 3

[1] 半角公式 ................................................................................................................. 3

探究一：二倍角公式的变形

........................................................................... 3

探究二: 和差角公式的变形

........................................................................... 5

[2] 辅助角公式 ............................................................................................................ 6

探究三：asinxbcosx的变形及应用

........................................................ 6

[3] 实际应用 ................................................................................................................. 8

[4] 课堂小结 ................................................................................................................. 9

5.3 复习总结和作业布置

................................................................................................. 10

[1]

课堂练习 .............................................................................................................. 10

[2]

作业布置 .............................................................................................................. 12

6 板书设计

....................................................................................................................................... 13

1 教学目标

[1]巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角正弦、余弦、正切公式，能运用上述公式进行简单的三角恒等变换。

[2]正确地对形如yasinxbcosx的三角函数的性质进行讨论，灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题. [3]灵活运用三角公式解决一些实际问题． [4]通过三角恒等变换的训练，培养转化与化归的数学思想。

2 教学重点/难点

教学重点：

引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换

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相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

教学难点：

认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

3 专家建议

本节课内容都是用例题来展现的．根据这个特点，通过例题的解答，恰当的运用多媒体辅助教学手段，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

4 教学方法

讲授式教学法

5 教学过程

5.1温故知新、引入课题

【师】复习公式：

【板演/PPT】

coscoscossinsin

coscoscossinsin

sincoscossin

sinsincoscossin

sintantantantantan

tan1tantan1tantansin22sincos cos2cos2sin22cos2112sin2

2tan1tan2

公式变形：

tan2

1

sincos

2sin2sin21cos22sin21cos2←——→

21cos222cos2



2

cos





1



cos

←——→

2

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【师】学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换形的工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．

引导学生去探究

5.2 新知探究

[1] 半角公式

探究一：二倍角公式的变形

【师】提出问题

a有什么关系? 2a⑵如何建立cosα能用的三角函数之间的关系？

2⑴α与【生】讨论与理解

【板书/PPT】

例1：试以cos表示sin22,cos22,tan22．

解析：我们可以通过二倍角cos2cos2题．

因为cos12sin2因为cos2cos221和cos12sin22来做此2，可以得到sin221cos；

221，可以得到cos221cos．

2又因为tan2221cos．

1coscos22a,将公式2sin2【活动】

教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin2aa中的α用代替,解出sin2即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α22aa是的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin2α中,以α代替2α,以代替α,即得22

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a, 2a1cosa所以sin2=.

①

22cosα=1-2sin2在倍角公式cos2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以a-1, 2a1cosa所以cos2=.

②

22a代替α,即得

2cosα=2cos2将①②两个等式的左右两边分别相除,即得

a1cosa=.

③

21cosaa1cosaa1cosaa1cosa2sin2=，cos2=，tan2=这三个式子有什么共同22221cosatan2特点？

教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：

(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数; (2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的). 【设计意图】：教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sinaaa1cosa1cosa1cosa=±,cos=±,tan=±,222221cosa并称之为半角公式(不要求记忆),符号由a所在象限决定. 2【师】通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? 【生】讨论与理解

【板书/PPT】

【易错点点拨】

三角变换与代数式变换是相同的。这种说法是错误的

解析:代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角以及这些

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角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点．

探究二: 和差角公式的变形

例2、求证：

（１）、sincos1sinsin；

2（２）、sinsin2sin2cos2．

【分析】：教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现. 证明：（１）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

sinsincoscossin；sinsincoscossin．

两式相加得2sincossinsin；

即sincos1sinsin；

2（２）由（１）得sinsin2sincos①；设,那么，

,22．

把,的值代入①式中得sinsin2sin【规律方法】

2cos2．

三角变换，应注意三角函数种类和式子结构特点的变化，分析透彻.找到它们之间的联系，即学会“三看”——看角、看函数名称、看式子结构.

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【活动】：教师引导学生联想（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果. （2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=

【思考】：在例２证明中用到哪些数学思想？

【提示】例3 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

【设计意图】：本例引出的和差化积和积化和差公式，有其结构上的同构特点，2，β=2,代入(1)式即得(2)式. 反映了角、的三角函数与角，的三角函数间的内在联系。另外，两2式之间又反映了由角、与、建立的转换关系，这体现了数学上的对应转换即映射反演的思想方法。

[2] 辅助角公式

探究三：asinxbcosx的变形及应用

【师】提出问题

①三角函数y=sinx，y=cosx的周期,最大值和最小值是多少？

②函数y=asinx+bcosx的变形与应用是怎样的？

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【板书/PPT】

例3：求函数ysinx3cosx的周期，最大值和最小值．

解：ysinx3cosx这种形式我们在前面见过，13ysinx3cosx2sinxcosx2sinx，

223所以，所求的周期T22，最大值为２，最小值为2．

【活动】：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx的周期是2kπ（k∈Z且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x的周期是kπ（k∈Z且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1]. 函数y=asinx+bcosx=a2b2（∵((aab22sinxbab22cosx）, aab22)2(bab22)21从而可令aab22cos,bab22sinφ,

则有asinx+bcosx=a2b2（sinxcosφ+cosxsinφ）

=a2b2sin（x+φ）. 【规律方法】

b我们有如下结论：辅助角公式asinx+bcosx=a2b2sin（x+φ），其中tanφ=.a在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.

【点评】：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数yAsinx的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式

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中的作用．

【设计意图】：我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法. [3] 实际应用

例4：

如图1,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动3点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.

【分析】：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与α之间的函数关系，再求函数的最值. 找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：

S=AB·BC=(cosα332sinα)sinα=sinαcosα-sinα.

33求这种y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值. 【师】：要求当角α取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分两步进行:

图1 (1)找出S与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S的最大值. 解:在Rt△OBC中,BC=cosα,BC=sinα,

在Rt△OAD中,所以OA=DA=tan60°=3, OA333DA=BC=sinα. 333

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所以AB=OB-OA=cosα3sinα. 3设矩形ABCD的面积为S,则

S=AB·BC=(cosα332sinα)sinα=sinαcosαsinα

331133133=sin2α+cos2α-=(sin2α+cos2α)-

2266263=13sin(2α+3)-. 66由于0<α<133,所以当2α+=,即α=时,S最大=-=. 36266633时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为. 66因此,当α=

【规律方法】：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP=α”,结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(1x23x),尽管对所得函数3还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.

【意图】：教师引导学生在应用的过程中，特别要注意例题中蕴含了化归思想。

[4] 课堂小结

1.降幂公式

sin21cos2=21cos

2cos.22，

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2.半角公式

1cossin,221coscos,22

tan21cos,1cos3、本节课还研究了通过三角恒等变形,把形如yasinxbcosx的函数转化为形如yAsin(x)的函数,从而使问题得到简化,充分体现出生活的数学和“活”的数学。

4、用函数法求平面图形面积的最大或最小值，常以某个变化的角作为自变量，再将面积表示为这个角的函数，转化为三角函数的最值问题。

5、三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子结构. 6.换元思想. 7、三角恒等变换知识框架图

【板书/PPT】

5.3 复习总结和作业布置

[1]

课堂练习

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1.下列各式恒成立的是（ ）

1cos1cos2= B.cos22sin2

2tan1cos2tanC. D.tan1cos21tan2A.tan2ππ2．sin(4＋α)sin(4＋β)化为和差的结果是(

) 1A．2[sin(α＋β)＋cos(α－β)] 1B．－2[cos(α＋β)－cos(α－β)] 1C．－2[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 1D．2[sin(α＋β)＋cos(α－β)] 3、3sinx－3cosx＝(

) πA．sinx－6

πC.3sinx＋6

4、函数y

课堂练习【参考答案】

1.B 2.D 3.D

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πB．3sinx－6

πD．23sinx－6

3sin2xcos2x的最小正周期为 . 2

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31解析：3sinx－3cosx＝23sinx－cosx

22ππ＝23sinxcos6－cosxsin6

π＝23sinx－6. 

32ysin2xcosx

4. 解析：2=3111sin2xcos2xsin2x

22262. 2T所以2答案：

[2]

作业布置

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、做课后练习题

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6 板书设计

学习目标

重点：

难点：

复习公式

探究点

1. 2. 3. 注意事项：

1．

2．

3．

4．

典例分析

例1 例2 例3 例4

学生练习

小结：

作业

当堂检测反馈

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