探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质主要内容及教案内容

1.2.2 单位圆与三角函数线

教学目标：

1．知识与技能: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2．过程与方法: 借助几何画板以及板演，让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力. 3．、情感与态度三维目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境. 教学重点难点：

1．重点：三角函数线的作法及其简单应用. 2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来. 教学方法与教学手段：

1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学. 2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展. 3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用三角板，直尺等探讨数学问题，做数学实验; 借助小组合作学习交流各自的观点,展示自己的才能. 课前预习：

对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法. 1.角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？

y

o

α

P(x,yxx，rysin，rytan.x

cos

1

所以x=______，y_________，所以点p坐标为____________. 当r=1时，x=______，y_________，所以点p坐标为____________. （2）角α

的正弦、余弦、正切值与终边上P点的位置是否有关？

(3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？

数轴上的向量AB的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果向量的方向与数轴的方向相同取正，反之取负.

新课讲授

探究点1：单位圆的定义

从定义看出：角α的三角函数是两个变量的比值.为了简单地计算其正余弦、正切，我们可以使分母为1. 问题1：当r=1时，即P点到原点的距离为1.所有满足条件的点P构成什么图形？

定义：单位圆 __________________________________________________________ 注意：____________________________________________________.

探究点2: 正弦线、余弦线

问题2 ：当角α是第一象限角时，能否在坐标轴上找到两个以原点为起点的向量,使P点的坐标分别是这两个向量的数量？

P（x,y）

问题3：当终边在第一象限时，角α的正、余弦与Ｐ点的纵、横坐标y，x之间有何关系？

思考1：随着α在第一象限内转动，MP是否也跟着变化？而它的长度值是否永远等于sinα？

OM是否也跟着变化？而它的长度值是否永远等于COSα？

思考2：由问题1，2你得到角α的正、余弦值与向量的数量有什么关系？

结论：第一象限角α的正、余弦值分别等于终边与单位圆交点的____坐标、____坐标，也

A

B

o

y

分别等于

MP , OM 的数量, 即

2

_____________________________________________________ 学生独立做出四个象限角的正弦线、余弦线.

探究点3：正切线的定义

问题4：α是第一象限角，能否在坐标系中找到一个垂直于x轴的向量，使它的数量为α的正切？

以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，则tanα=AT(或AT′).

问题5：角α是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴的向量，使其数量为tanα？

问题6: α终边在x轴、y轴上时，三角函数线有何特点？数量值是多少？

总结提升：

(1)三角函数线的位置:

(2)三角函数线的方向:

【例题精讲】

类型一 作任意角的三角函数线

y

o

o例1.分别作出2π3π和-的正弦线、余弦线和正切线.34

3

类型二 比较三角函数值的大小

例2.利用三角函数线比较sin1和cos1的大小.

变式训练

比较大小：

(1) sin 1和sin 1.5. (2) cos 1和cos 1.5. (3) tan2和tan3

类型三 利用三角函数线解等式(不等式) 例3 利用单位圆,可得满足sinα=

变式训练

利用单位圆,可得满足sinα<2 ,且α∈(0,π)的α的集合_________________. 22 ,且α∈(0,π)的α的集合为____________________. 2

学生小结：本节课在知识点及方法上取得的收获：

当堂检测

1.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( ) (A)第一象限 (B)第一、二象限

(C)第三象限 (D)第一、三象限

2.sin 1，cos 1，tan 1的大小关系为( ) (A)sin 1>cos 1>tan 1 (B)sin 1>tan 1>cos 1 (C)tan 1>sin 1>cos 1 (D)tan 1>cos 1>sin 1

3.比较大小：tan 1_____ tan

4 (填“＞”或“＜”). 3

课后拓展

1.在10，2sinx上，满足

的x的取值范围是（

）

252，，0，, A B  C D

666636

2.求函数ylg(2sinx1)2cosx1的定义域.

3.当x∈（0，2）时，有 sinx＜x＜tanx

课后作业：第21页练习A,B

5