阅读与思考 三角学与天文学教学实录与评析

1.2.1 任意角的三角函数（1）

一、课题：任意角的三角函数（1）

二、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

三、教学重、难点：根据定义求三角函数值。

四、教学过程：

（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在RtABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为sinAaba,cosA,tanA

．

ccb角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

（二）新课讲解：

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设是一个任意角，的坐标为(x,y)，终边上任意一点P（除了原点）22它与原点的距离为r(r|x||y|x2y20)，那么

yy叫做的正弦，记作sin，即sin；

rrxx（2）比值叫做的余弦，记作cos，即cos；

rryy（3）比值叫做的正切，记作tan，即tan；

xxxx（4）比值叫做的余切，记作cot，即cot；

yyrr（5）比值叫做的正割，记作sec，即sec；

xxrr（6）比值叫做的余割，记作csc，即csc．

yy说明：①的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以（1）比值及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点P(x,y)在的终边上的位置的改变而改变大小；

③当2k(kZ)时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，yrx与与sec无意义；同理，当k(kZ)时，coyxxy所以tancscr无意义；

yyxyrxr、、、、、分别是一个rxrxyy④除以上两种情况外，对于确定的值，比值确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。

2．三角函数的定义域、值域

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函

数

定

义

域

值

域

ysin

ycos

ytan

R

R

[1,1]

[1,1]

R

{|2k,kZ}

3．例题分析

例1 已知角的终边经过点P(2,3)，求的六个函数制值。

解：因为x2,y3，所以r22(3)213，于是

y3313x2213；cos；

r13r131313y3x2tan；

cot；

x2y3sinsecr13r13；

csc．

x2y33．

2例2 求下列各角的六个三角函数值：（1）0；（2）；（3）解：（1）因为当0时，xr，y0，所以

sin00，

cos01，

tan00，

cot0不存在，

sec01，

csc0不存在。

（2）因为当时，xr，y0，所以

sin0，

cos1，

tan0，

cot不存在，

sec1，

csc不存在。

3（3）因为当时，x0，yr，所以

233sin1，

cos0，

2233tan0，

不存在，

cot2233sec1．

不存在，

csc22例3

已知角的终边过点(a,2a)(a0)，求的六个三角函数值。

解：因为过点(a,2a)(a0)，所以r5|a|，

xa,y2a

当a0时，sin

cosy2a2a25；

r55|a|5a15xa5a；tan2;cot;sec5;csc；

22r55ay2a2a25当a0时，；

sinr55|a|5a

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cosxa5ar5a5；15．

tan2;cot;sec5;csc224．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

y对于第一、二象限为正（y0,r0），对于第三、四象限为负（y0,r0）；

rx②余弦值对于第一、四象限为正（x0,r0），对于第二、三象限为负（x0,r0）；

ry③正切值对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）．

x①正弦值说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：sin(2k)sin，

cos(2k)cos，其中kZ．

tan(2k)tan，

（练习）确定下列三角函数值的符号：

（1）cos250；（2）sin(4)；（3）tan(672)；（4）tan11．

3五、小结：1．任意角的三角函数的定义；

2．三角函数的定义域、值域；

3．三角函数的符号及诱导公式。

六、作业：

补充：已知点P(3r,-4r)(r0)，在角的终边上，求sin、cos、tan的值。

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