探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期名师教学设计2

1.4.2正弦、余弦函数的性质

学习目的：

1、要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；

2、掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

学习重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；

学习难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用

授课类型：新授课

学习模式：启发、诱导发现学习．

教

具：多媒体、实物投影仪

学习过程：

一、讲解新课：

1．奇偶性

请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？

(1)余弦函数的图形

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

例如：

f(-11)=,f()=

,即f(-)=f()；……

323233由于cos(－x)=cosx

∴f(-x)= f(x)．

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。

(2)正弦函数的图形

观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

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这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

f(－x)=－f(x)

，那么函数f(x)就叫做奇函数。

例如：函数y=x,

y=1

都是奇函数。

x如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：

（1）其定义域关于原点对称；

（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。

首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

2．单调性

从y＝sinx，x∈［－当x∈［－32,2］的图象上可看出：

，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1．

223当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1．

22结合上述周期性可知：

＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其223值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，22正弦函数在每一个闭区间［－其值从1减小到－1．

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1．

3．有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

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y=sinx的对称轴为x=k2

k∈Z y=cosx的对称轴为x=k

k∈Z （1）写出函数y3sin2x的对称轴；

（2）ysin(x)的一条对称轴是（

C ）

4(A)

x轴，

(B)

y轴，

(C)

直线x，

(D)

直线x

444．例题讲解

例1 判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)1sinxcosx;

1sinxcosx(2) f(x)=sin4x-cos4x+cos2x; (3)f(x)lg(sinx1sin2x);

lg(1x2)（4）f(x)

|x2|22

(x0)xx （5）f(x)2；

(x0)xx 例2

(1)函数f(x)＝sinx图象的对称轴是

；对称中心是

．

(2)函数f(x)3sinxcosx图象的对称轴是

；对称中心是

．

例3

已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数)，且f(5)=7,求f(-5)．

例4 已知已知f(x)log11sinx.

1sinx2(1)

求f(x)的定义域和值域；

(2)

判断它的奇偶性、周期性；

(3)

判断f(x)的单调性．

三、小结：本节课学习了以下内容：

1．正弦函数、余弦函数的周期性

2．正弦函数、余弦函数的奇偶性

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