2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示第一课时教学设计

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

教学目标

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．

重点: 掌握向量的坐标表示、向量的坐标运算法则

难点：点的坐标与向量的坐标区分

教学过程

[情境导学]

我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示．对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？

探究一

平面向量的坐标表示

思考1

如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

思考2

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

小结

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．显然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

→→思考3

在平面直角坐标系中，作向量OA＝a，若OA＝(x，y)，此时点A的坐标是什么？

思考4

根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.

探究二

平面向量的坐标运算

思考1

设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝

x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？

思考2

根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？

思考3

如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

→思考4

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？

→

AB＝(x2－x1，y2－y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．

思考5

点的坐标与向量的坐标有何区别？

(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．

(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．

(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．

例1、已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标．

解

a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，

a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，

3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝

(6,3)＋(－12,16) ＝(－6,19).

反思与感悟

(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．

练习1

已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 23解

(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．

(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．

1111(3)a－b＝(－1,2)－(2,1) 232312172－，1－，＝－，. ＝23363例2

已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c. 解

设c＝xa＋yb，

则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1) ＝(－2x＋3y,3x＋y)，

10＝－2x＋3y，∴

－4＝3x＋y，

解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b. 反思与感悟

待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．

练习2

已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c表示a. 解

设a＝λb＋μc (λ，μ∈R)．

则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2) ＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．

10＝3λ－2μ，∴解得7μ＝－，－5＝2λ＋2μ，

λ＝1，2

7∴a＝b－c. 2例3已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2,1)、(－1,3)(3,4)，求顶点D的坐标．

解

方法一

设点D的坐标为(x，y)，

→∵AB＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，

→→→DC＝(3,4)－(x，y)＝(3－x,4－y)，且AB＝DC，

∴(1,2)＝(3－x,4－y)，即3－x＝1,4－y＝2. 解得x＝2，y＝2. 所以顶点D的坐标为(2,2)．

方法二

由向量加法的平行四边形法则可得

→→→BD＝BA＋BC

＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，

→→→OD＝OB＋BD＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，

所以顶点D的坐标为(2,2)．

反思与感悟

向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题．

练习3

已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．

解

不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y)．则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形．

→→(1)当平行四边形为ABCD时，AB＝DC，

∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，

1－x＝1，x＝0，∴

∴

∴D(0，－1)．

－2－y＝－1，y＝－1.

(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)．

(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．

综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．

小结

1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．

2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．

3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．