习题训练多媒体教学设计及其点评

第十七章

勾股定理小结和复习

一．知识归纳

1.勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a22.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

常见方法如下：

方法一：4SDHEFbAcGaBS正方形EFGHS正方形ABCDbc22

，412ab(ba)c22，化简可证．

C

方法二：

bacabcbccbaa

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S大正方形面积为S(ab)a2abb222412abc22abc2

所以a2b2c2

3.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，C90，则cab22，bca22，acb22

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

4.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2斜边

5.勾股数

bc22，那么这个三角形是直角三角形，其中c为

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示n组勾股数：

6．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

7.．勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

题型一：直接考查勾股定理

例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的长

⑵已知AB17，AC15，求BC的长

分析：直接应用勾股定理a2解：⑴AB⑵BCACBC22bc22

108

ABAC22题型二：应用勾股定理建立方程

例２. ⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解

解：

⑴ACABBC224，CDACBCAB2.4

ADBC

(3k)(4k)15222⑵设两直角边的长分别为3k，4k，k3，S54

⑶设两直角边分别为a，b，则abcm217，a2b2892，可得ab60S12ab30

90例３.如图ABC中，CCD12E，12，CD1.5，BD2.5，求AC的长

AB

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来

解：作DEAB于E，

12，C90

DECD1.5

在BDE中

BED90,BEBDDE222

RtACDRtAEDACAE

EB)AC4AC3222

90

在RtABC中，C

AB2AC2BC2，(AE

例4.如图RtABC，CC90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

AB

答案：6

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了

Acmm，两树相距8

cm，一只小鸟从一棵树的树EBDC

分析：根据题意建立数学模型，如图AB垂足为E，则AE6m，DE8m

在RtADE中，由勾股定理得AD8m，CD2m，BC8m，过点D作DEAB，AEDE2210

答案：10m

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt

①a1.5，b2，c2.5

②a54，b1，c6.2523

解：①a2b21.52226.25，c22.52

ABC是直角三角形且C90

②bc22

不是直角三角形

139，a22516，b2caABC22例7.三边长为a，b，c满足ab解：此三角形是直角三角形

理由：210，ab18，c8的三角形是什么形状？

ab(ab)2ab6422222，且c264

abc

所以此三角形是直角三角形

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD证明：

A12cm，求证：ABAC

BADDC

为中线，BDAD2DC5cmBD22

169AD2在ABD中，ADB901692，AB22BD2AB2，

，ACADDC169，AC13cm，ABAC