3. 万有引力定律的应用教案1

---有效课堂探究--- 万有引力定律在天文学上的应用

[教师引导]开普勒描述了行星运动规律后，牛顿给出了这样运动的动力学解释即万有引力定律，并由卡文迪许测出了引力常量。这样为这个17世纪最伟大的自然科学成果展现其辉煌扫清了障碍，这一节我们将举例说明万有引力定律对天文学的发展起到的巨大的推动作用。

绕太阳转动的行星、绕地球转动的卫星，这些天体的运动，我们把它理想化为匀速圆周运动来近似研究它。居于圆心的天体叫中心天体，绕中心天体转动的天体为绕转天体。

[教师提问]谁提供了绕转天体作匀速圆周运动的向心力？

[引导学生总结]这个向心力就来自中心天体对它的万有引力，这就是我们解决天体问题的基本思路：由F引=F向

得：

22GMm/r2=ma=mv2/r=mrω=mr(2/T)

上式中M为中心天体的质量, m为绕转天体的质量，r为绕转天体的轨道半径，

a为其向心加速度，v为线速度，ω为角速度，T为周期。

应用一：求中心天体的质量和平均密度: [教师引导]我们发现：以上公式中绕转天体的质量可以被约掉，故不能据此求出绕转天体的质量；显然，只要知道绕转天体的运动参量，就可以求中心天体的质量。

如：用地球绕转太阳这个情境可求太阳的质量

由GMm/r2= mr(2/T)

得M=4 r3/GT2

代值得M=2×1030 Kg [教师提问]

怎样求出地球的质量？能用地球绕转太阳这个情境吗? [

学生活动]

显然不行。如可利用月球绕转地球这个情境，求出地球的质量……

[引导学生进一步活动]若知道中心天体的球体半径R,

由V=4 R/3和上式得; 32ρ=M/V=3 r/GTR3

[评析拓展]当在中心天体表面绕转时有R≈r，则：

2ρ =3 /GT

由飞船在其表面绕一圈测出周期T，就可测某星球的平均密度了

应用二：推知绕转天体的运动情况：

[教师引导]利用万有引力定律可求出中心天体质量，反过来，如果知道了中心天体质量和轨道半径，也可以确定绕转天体的运动参量。

32

[教师讲述]在人们发现了第七个行星后，据此算出来的运动参量与天王星真实情况有一些偏差，推测可能是受一个未发现的新行星的影响而造成的。英国剑桥大学的学生，23岁的亚当斯，根据万有引力定律和天王星的真实轨道逆推，预言了新行星不同时刻所在的位置．同年，法国的勒维列也算出了同样的结果，并把预言的结果寄给了柏林天文学家加勒。收信当晚，加勒就把望远镜对准勒维列预言的位置，果然发现有一颗新的行星——海王星。海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的还是有点不一致，于是几位学者用亚当斯和勒维列的方法预言有另一颗新行星的存在。终于在1930年，汤博（Tom baugh）发现了这颗行星——冥王星．冥王星的实际观测轨道与理论计算符合得很好，所以人们确认，冥王星是太阳系最外一颗行星了．海王星、冥王星的发现显示了万有引力对天体研究的重要意义：不但能说明已知的事实的，还能预测未知的事实。

[教师提问]那么，那些绕转天体的运动参量是如何被推算出来的呢?

[学生活动]设绕转同一中心天体则：

由GMm/r2= mr(2/T)，得T=4

r/GM，

即T2∝

r3(就是开普勒第三定律) 22

2

由GMm/r2 =mv2/r，得V= GM/r，即V∝1/r

33222由GMm/r2 =mrω，得ω= GM/r，即ω∝1/r

22由GMm/r2=ma, 得a= GM/r，即a∝1/r

[巩固训练]

地球有两颗卫星A和B,知轨道半径rA>rB

（1）比较它们的向心加速度，线速度，角速度，周期的大小

（2）若知rA=2rB求它们的向心加速度，线速度，角速度，周期之比

……

[本节小结] 天体问题的基本思路：绕转时由F引=F向

得：

2 2GMm/r2=ma=mv2/r=mrω=mr(2/T)应用一：求中心天体的质量和平均密度: 如：由GMm/r2= mr(2/T)得M=4 r3/GT

32若中心天体的半径为R, 得ρ=M/V=3 r/GTR3

2若在中心天体表面绕转时有R≈r，则：ρ =3 /GT

应用二：推知绕转天体的运动情况

设绕转同一中心天体则：

222

32T2∝

r3(即开普勒第三定律) V2∝1

/r 322ω∝1/r

a∝1/r