方差的应用教案设计

方差的运用

【教学目标】

1、了解方差，标准差的公式的产生过程

2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。

3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差

【教学重点】

方差的概念、计算及其运用

【教学难点】

1、方差和标准差的计算及运用。

2、方差为什么是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数，这既是教学难点，又是教学的关键，只要把这一关键问题解决好，学生就会更好的理解方差和标准差的概念。

教学过程：

一：情境引入

师：今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。

问题一

为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行有奖招标。如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？

（学生跃跃欲试，可能会提出好几种方案。通过比较，结合前面学过的平均数，容易得出：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的，相信大多数同学会赞同这一方案。）

师：这个方案不错。可是——

（老师首先肯定这个方案的可行性，然后稍作停顿，提出下面的疑问）

师：如果两人的平均环数一样，怎么办？

（同学们肯定会说，再比一次，这

时老师可以问：再一样怎么办？难道就这样一直比下去吗？学生会发笑，进而思考应如何解决这个问题。）

师：假如是下面这个情况：（出示投影）

问题二

若甲、乙二人在相同的条件下各连续射靶10次，命中的环数如下：

甲

7

8

6

8

6

5

9

10

7

4

乙

9

5

7

8

7

6

8

6

7

7

①比较上述数据，你将选择

参赛？

②通过计算可知，X甲=

，X乙=

，并根据计算的结果验证你选择的正确性。

（估计会出现两种截然相反的意见：有人认为应该选甲，有人认为应该选乙，但由于X甲=X乙，谁也没有充足的由反驳对方。这时老师可引导，尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的，让学生充分研讨，经过观察分析数据，比

较容易达成这样的共识：甲最多10环，最少4环，波动范围较大，而乙最多9环，最少5环，波动范围较小。因此乙较稳定，应该选拔乙参赛，相信学生对这一点不会怀疑。）

设计意图：从一个学生认为可以很容易解决的问题入手，不停的制造矛盾，而且矛盾是确实客观存在和可接受的。但即便如此，设计的问题还要让学生看得到解决的希望，数据的变化要有特点：即：水平的差距是能让学生显而易见看得到的。

二：概念初成

师：由于甲最多环数与最少环数的差距大，从而得出甲不稳定，所以甲遭淘汰。难道这种分析方法就准确？

（老师进一步提出疑问，估计学生中间会引起一阵私语，接着引发一场争论，这时老师可顺势利导，引出问题三。）（出示投影）

问题三

若甲、乙二人在相同的条件下各连续射靶10次，命中的环数如下：

甲

10

7

7

7

7

7

7

7

7

4

乙

9

5

7

8

7

6

8

6

7

7

请你观察上述数据，

的水平比较稳定？

（不难发现，虽然甲最多比最少差距大，但还是甲比乙要稳定）

设计意图：此处数据的改动很有意义，当着学生的面改动如同当面给了刚才还满腔热血的学生浇了一盆冷水，让他们立刻清醒也立刻能觉察到自己考虑问题的片面性。同时也为考虑到使用波动图埋下伏笔。

师：根据问题二和三，可以看出：在平均数相同的情况下，单纯比较最大与最小两个数据，不能够说明一组数据的整体波动情况。为了直观地反映整体波动的情况，你有什么好的想法吗？

（学生进入兴奋状态，有独自埋头思考，也有三五成群的讨论，并有辅以图形帮助的）

师：我看到同学的一些好的想法，从图中看波动情况，这种借助图示的方法是否可行呢？老师在这里也为问题二中的甲、乙绘制了这样一张环数波动图。（出示投影）

林斌">

（可由学生在图中用线连接各点，更易看出问题所在。学生讨论后很容易一致得出：甲比较离散，乙比较集中，也就是说乙比较集中在平均数的附近）

师：这给了我们什么启发呢？

生：这就启发我们：一个数据的波动是说它与平均数的差的情况。

师：很好，那么又如何反映一组数据的波动情况？请同学们仔细思考，并相互交流，看谁的办法好。

生：①用各个数据减去它们的平均数，得到各个数据的偏差；

②将各偏差相加。

师：好想法，那我们就来算算看，

（不难得出甲、乙的偏差和为0。到这一步，同学们会突然想到去掉偏差的负号问题。老师

引导学生进行探索、分析，最后归纳出两种方法。①先求各偏差的绝对值，再相加；②先求各偏差的平方，再相加。）

师：好！这两种方法都有道理。

（老师充分肯定成绩，让学生体验到成功的喜悦，以进一步加强学生的探索意识）

师：但哪种方法更好一些？

（老师又一次提出问题，从而把学生的思维引向高潮，不难估计到绝大部分赞同第一种，因为取绝对值相对容易，面对学生的这种观点，引出问题四，将全班学生分成两组，通过计算比较。）（出示投影）

问题四

若甲、乙二人在相同的条件下各连续射靶10次，命中的环数如下：

甲

7

9

6

7

6

5

9

9

7

5

乙

9

6

7

8

9

6

8

5

5

7

试比较谁较稳定？

（通过计算易知，用方法①，二人的波动一致；用方法②甲的波动大，因此我们选择用方法②）

（教师此处选择的数据有一定的特殊性，实际是让学生初步体会用平方而不用绝对值的目的就是将数据间的差距拉大）

三：公式的归纳

师：从上面的计算看出：单求偏差平方和，易因数据不同而导致出现错误的结论，只有求得其平均数才能真实地描述波动特征。一般地，为了描述一组数据的波动大小，我们可以采用几个步骤来分析出结果呢：（师生共同合作完成）

师：我们把这个平均数叫做这组数据的方差。

板书：

方差定义：

设在一组数据X1,X2,…，Xn 中，各数据与它们的平均数X的差的平方分别是

（X1-X）2，（X2-X）2，…，（Xn-X）2，那么我们用它们的平均数，即用

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

师：注意：一组数据方差较大，说明这组数据的波动越大。

设计意图：此环节是整堂课的灵魂所在，在所有问题的铺垫均已到位的情况下，每个问题的发现和解决都可以一气呵成。从发现问题波动的实质是与平均数的偏离程度，到用绝对值和平方来消除负号的影响，都是一次思维的自然过渡和提升。而教师所提供的数据也经过了精心的挑选，让学生能通过实践得出一个为什么？为什么弃简单择复杂的理由何在。

（至此，讲完方差概念，再让学生阅读教材中相关内容）

四：新知应用

讲解范例（板书解答略）

师：有没有同学对方差的记号为什么是S2中的平方感兴趣呢？你们注意到我们得出的最后结论中的数据的单位与原数据的单位有何不同了吗？

（学生可以很轻松的回答出是原数据单位的平方，教师就可以顺势带出标准差的概念）

师：为了解决这一问题。我们又引入一个新的概念来解决这个矛盾：标准差S，

师：计算准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的一致，有时用它比较方便。

五：巩固练习

师：请同学们按例题格式做课本中相应练习，

（练习的选择教师有意识的选择了计算量相对教小的作业题3，意在巩固学生对公式的熟练应用，并及时了解学生在解题过程中遇到的困难）

（在学生完成练习后，让学生阅读探究活动，并同时求解作业题5，让当堂掌握得较好的学生通过对此题的思考，对方差能有更深入的理解。）

六：作业布置

全体学生完成作业本中的练习

教学反思

纵观整个教学设计流程，本课时教学设计具备以下特点。

1、教学内容的选取与组织符合本学段学生的年龄特征.

一堂课的教学内容如何组织，包括知识点如何展示、例题的选取和搭配、习题质和量的确定等，都对数学教学目标的实现有直接影响，从本节课从教学内容来看方差的公式是较难记忆和理解的，但只要选择好了引入的途径和延续的铺垫，那么学生在理解和接受上就能显得自然和配合了。因此一个好的情境对于感性经验尚不丰富的学生的思维发展具有重要意义

2、能采用弹性的教学设计，根据课堂学生的表现和课堂生成情况进行教学环节的局部调整。

本节课中很多问题的提出是做了两手准备的，如问题一与问题三，都可以既是学生发现先行提出，也可以是在学生没有疑问的前提下由教师给出。对于波动图的发现和生成，则是一个无法预设的问题，它的出现要取决于学生的思维和教师的点拨。这就是我们在备课时常说的有所备而有所不备，我们不能备学生的思维，但我们能备整堂课中的环节设置。因此，要求教师要有扎实的专业知识和驾驭课堂的能力。学生是学习的主体，教学中教师要依据学生学习规，留给时间和空间，引导学生利用已有的知识和生活经验，自己去解决问题，探求新知识。

3、以新课程理念作为指导，采用多媒体教学手段进行教学，同时以学生的自主学习、合作探究为教学模式，围绕“问题”，创设多样的教学情境，把课堂教学的问题化、案例化、情景化、生活化、活动化紧密地结合起来，充分发挥了学生的主体作用，引导学生自主、合作、探究地学习，教学过程气氛热烈，学生能够积极思考，踊跃发言，有效地实现了教学目标。