方差的应用国家获奖教案

20．2

数据的波动程度

方差的应用

教学目标

1．会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小，并能运用方差知识，解决实际问题．

温故知新

回想上节课所学内容填空：

1．统计中常采用考察一组数据与它们的平均数之间的差别的方法，来反映这组数据的波动情况．

22．设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1－x)，(x2122222－x)，…，(xn－x)，我们用这些值的平均数，即用s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－nx)]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差．

3．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小．

4．要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差．

5．计算一组数据：8，9，10，11，12的方差为2．

例题讲解：

例1

(教材P125例1)在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高(单位：cm)如表所示．

甲团

乙团

163 163 164 165 164 165

165 166 165 166 166 167

166 168

167 168 2哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？

【解答】

甲、乙两团演员的身高平均数分别是

163＋164×2＋165×2＋166×2＋167x甲＝＝165，

8163＋165×2＋166×2＋167＋168×2x乙＝＝166. 8方差分别是

（163－165）＋（164－165）＋…＋（167－165）s＝＝1.5，

82甲222（163－166）＋（165－166）＋…＋（168－166）s＝＝2.5. 82乙222由s甲

【跟踪训练1】

在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：

甲队

26 25 28 28 24 28 26 28 27 29 乙队

28 27 25 28 27 26 28 27 27 26 (1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少？

(2)你能说说两队参赛选手年龄波动的情况吗？

解：(1)两组数据的平均数分别是：x甲＝26.9，x乙＝26.9，即甲、乙两队参赛选手的平均年龄相同．

(2)两组数据的方差分别是：

22

（26－26.9）＋（25－26.9）＋…＋（29－26.9）s＝＝2.29，

102甲222（28－26.9）＋（27－26.9）＋…＋（26－26.9）s＝＝0.89，

102乙222由s甲>s乙可知，甲队参赛选手年龄波动较大．

【点拨】

平均数是反映一组数据总体趋势的指标，方差是表示一组数据波动程度的指标．所以(2)用方差来判断．

例2

(教材例题变式)为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩(单位：分)如下：

甲的成绩

乙的成绩

76 82 84 86 90 87 84 90 81 79 87 81 88 93 81 90 85 74 84 78 85分以上的频率

0.3 0.5 22

(1)填写下表：

同学

甲

乙

平均成绩

84 84

中位数

84 84

众数

方差

14.4

34

84

90 (2)利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价．

【解答】

从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好；

22从方差看，s甲＝14.4，s乙＝34，甲的成绩比乙相对稳定；

从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好；

从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好．

【跟踪训练2】

某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩(单位：环)如下表：

第1次

10

10

第2次

8

7

第3次

9

10

第4次

8

10

第5次

10

9

第6次

9

8

第7次

10

8

第8次

8 10 甲

乙

(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是9环，乙的平均成绩是9环；

(2)分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；

(3)根据(1)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？并说明理由．

1222222解：(2)甲的方差为×[(10－9)＋(8－9)＋(9－9)＋(8－9)＋(10－9)＋(9－9)＋8(10－9)＋(8－9)]＝0.75，

12222222乙的方差为×[(10－9)＋(7－9)＋(10－9)＋(10－9)＋(9－9)＋(8－9)＋(8－9)8＋(10－9)]＝1.25. (3)∵0.75＜1.25，∴甲的方差小．∴甲比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适．

巩固训练

21．若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s，则

2(1)数据x1±b，x2±b，…，xn±b的平均数为x±b，方差为s；

22(2)数据ax1，ax2，…，axn的平均数为ax，方差为as；

222

(3)数据ax1±b，ax2±b，…，axn±b的平均数为ax±b，方差为as．

2．用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的．

(1)6 6 6 6 6 6 6 (2)5 5 6 6 6 7 7 (3)3 3 4 6 8 9 9 (4)3 3 3 6 9 9 9 444542222解：图略．(1)x＝6，s＝0；(2)x＝6，s＝；(3)x＝6，s＝；(4)x＝6，s＝. 7773．甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成图1、图2的统计图．

22

图1

图2

(1)在图2中，画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；

(2)已知甲队五场比赛成绩的平均分x甲＝90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x乙；

(3)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、获胜场数三个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参加比赛更能取得好成绩？

解：(1)如图所示．

(2)x乙＝90分．

(3)从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；

从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；

从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；

综上所述，选派甲队参赛更能取得好成绩．

课堂小结

1．理解方差的定义，会计算一组数据的方差．

2．方差的作用：一组数据的方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．

3．方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．