二次根式的混合运算优质课教学设计

一、考点突破

知识点

同类二次根式

二次根式的加减[来源:Zxxk.Com]考纲要求

掌握

掌握

命题角度

会判断二次根式是否为同类二次根式。

运用二次根式的加减法则对二次根式进行化简和计算。

1.

二次根式的化简求值；

2. 运用公式对二次根式进行化简和计算；

3. 巧解一些二次根式的混合运算题。

备注

易错

常考

二次根式的混合运算

掌握

常考

二、重难点提示

重点：

1. 理解同类二次根式的概念；

2. 掌握合并同类二次根式的方法；

3. 在进行二次根式的加、减、乘、除及含有乘方的混合运算时，要注意运算顺序和符号的问题。

难点：

熟练进行二次根式的混合运算。

二次根式的加减法则

【考点精讲】

1. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

2. 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，找出同类二次根式，然后把同类二次根式分别合并。

【典例精析】

例题1

下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

a1271132322a3，，，，b，，，。

ab3224327，18b5a39abb27a3思路导航：要判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再观察被开方数是否相同。

答案：解：2732333；a2ab12ab；

18b36b26b3127127a1313a＝＝；3；

5a5a5a239313ab2a32a3ba；bb3a，

2ab2342bbb27a81a9a432162ab；

ab2ab＝2243＝2923183；3993232ab1233222ab。

ababab1所以27，，2243是同类二次根式；

3a32322a3，，是同类二次根式；

ab，318b9abb1271，b是同类二次根式。

35a27a点评：本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这些二次根式叫同类二次根式。

例题2

计算：(240.5221)(6)

38思路导航：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

1212626

234211＝(21)6()2

32411362。

＝34答案：解：原式＝26点评：本题考查二次根式的加减，二次根式的加减运算的步骤：化简→判断→合并。

例题3

计算：2a19a＋6－2a。

34a思路导航：二次根式的加减运算，应先化简，再合并同类二次根式。

答案：解：原式＝2a＋3a－2a

＝（2＋3－2）a

＝3a。

点评：二次根式的加减首先是化简，化简后可类比整式的加减运算进行合并，在合并时，只合并根号外的系数，而被开方数不变。

【总结提升】

1. 同类二次根式

①同类二次根式类似于整式中的同类项，如23和13是同类二次根式，2x和252x也是同类二次根式；

②定义中强调在化成最简二次根式后，要满足“两相同，即根指数是2，被开方数相同”这一条件，这一定义的应用范围很广。

2. 二次根式的加减

二次根式的加减与整式的加减相比，可将前者中同类二次根式看做整式加减中的同类项进行合并。

二次根式的混合运算

【考点精讲】

（1）二次根式的混合运算

根据先乘方，后乘除，最后算加减的运算顺序进行运算。如有括号，应按小、中、大括号的顺序进行计算。

（2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算。因此，

①运算顺序与有理式的运算顺序相同；

②运算律仍然适用；

③与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算。

【典例精析】

（2）3248例题1

计算：（1）423622；

1843。

122思路导航：（1）主要是二次根式的混合运算；（2）利用多项式乘法公式进行计算。

答案：解：（1）原式＝42＝2－－36122

33。

2（2）原式＝32433243

＝3243

22＝18－48 ＝－30。

点评：本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算；运用二次根式的性质和乘法法则进行运算。

例题2

计算：112302310265

2思路导航：将11230化为56256＝65，将23102化为1210＝2(65)然后再提取公因式，约分即可。

答案：解：原式＝652265＝＝2[656526565]65

[来源学&科&网]

[来源:Zxxk.Com]＝212。

点评：二次根式的运算往往比较繁琐，运算量也比较大，有时突破常规地利用一些方法技巧可以使运算简便。

【总结提升】

1. 归纳：二次根式的混合运算，首先要搞清楚运算的顺序，其次要认真观察式子的结构特点，能运用运算律要优先考虑运算律，简化运算。

2. 在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，有时可以先乘除，进行整理，达到化简的目的，但最后结果一定要化简。



解析：323+2=3232=[323+2]32=32=23

示例1

计算：3220103+220092010200920093+22009

2009

示例2

计算：853276

思路导航：没有必要对8先化简，使计算繁琐，而是应先进行乘法运算27827686，通过约分达到化简的目的。

274152

3答案：

二次根式的应用

【考点精讲】

1. 因式的外移和内移

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，且可以通过因式分解变形为积的形式，则先进行因式分解，再把因式移到根号外面。反之，也可以将根号外面的正因式，经平方后移到根号里面去。

2. 运用积的算术平方根的性质abab(a0,b0)，二次根式的性质a2a(a0)及因式分解等知识化简二次根式K（K为值大于或等于零的整式）。

【典例精析】

12aa2a22a1例题1

已知：a23，求的值。

2a1aa思路导航：先分析已知条件（需要明确a与1的大小关系），再化简代数式，将a的值代入求解。

答案：解：因为a23＜1，所以a－1＜0。

12aa2a22a1所以

2a1aa(a1)2(a1)2＝

a1a(a1)|a1|＝a1

a(a1)1a＝a1

a(a1)1＝a1。

a当a23时，原式＝2311＝23123＝3。

23[来源学+科+网Z+X+X+K]点评：解答此题，先根据已知条件判断出a与1的大小关系（解题关键），再逆用两数差的完全平方公式进行化简，然后将a的值代入求解即可。

例题2

比较下列各式的大小

与

[来源学#科#网Z#X#X#K]（1）53与23；（2）755；（3）37与215

2思路导航：（1）可选用作差的方法进行比较；（2）可选用作商的方法进行比较；（3）可采用移动根式的方法进行比较。

答案：解：（1）5323＝323＝9120，所以5323；

75282875＝；

1，所以25252255（3）因为3763，21560，而6360，所以37215。

（2）因为点评：本题考查的是二次根式的大小比较，当两无理数比较大小时要把根号外面的数移到根号里面，再比较被开方数的大小，另外选择适当的方法是比较二次根式大小的关键。

例题3

一个三角形的三边长分别为5x15420x，x，。

5245x

（1）求它的周长（要求结果化简）；

（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。

思路导航：把三角形的三边长相加，即为三角形的周长。再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

答案：解：（1）周长＝5＝5x5x＝x154

20xx5245x15x

255x；

2552025。

2454（或当x＝时，周长＝55等）

525（2）当x＝20时，周长＝点评：此题主要考查了二次根式的计算以及应用，根据二次根式加减运算法则得出结果是解题关键。

【总结提升】

二次根式大小的比较，要根据二次根式的特点，灵活选用不同的方法，常用的方法有：

1. 求差法

设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，

若a－b＜0，则a＜b；

若a－b＝0，则a＝b；

若a－b＞0，则a＞b。

如：53与23（例题2（1））

2. 求商法

如果a、b都是正实数，

a1，则ab；

ba若1，则ab；

ba若1，则ab。

b57如：与（例题2（2））

25若3. 倒数法

设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，

11＜，则a＞b；

ab11若＝，则a＝b；

ab若

若11＞，则a＜b。

ab4. 移动因式法

当a＞0，b＞0时，若要比较形如ac与bd的两数大小，可先把根号外的正因数a与b平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

如：37与215（例题2（3））5. 平方法

就是先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即：若a0，[来源:Zxxk.Com]

b0，且a2b2，则ab；若a0，b0，且a2b2，则ab。

例题

比较22与1＋3两数的大小

解析：（22）=8，（1＋3）2＝4＋23

因为2＞3，所以4＞23，所以8＞4＋23，即22＞1＋3

2

（答题时间：60分钟）

二次根式的加减法则

一、选择题

1. 下列二次根式中，与ab是同类二次根式的是（

）

33ab

512ab

C. 3A. A. 2323

[来源:Z+xx+k.Com]

2ab4

ab5D.

abB. B.5225

D. 2. 下列计算正确的是（

）

C. 52a2a62a

3. 计算233y2x3xy

11的结果是（

）

3327813

A. B. 8

C. 23

33[来源学#科#网Z#X#X#K]D. 23＋21

33

二、填空题4.

28＝______。

1的结果是_______。

314x3是同类二次根式，那么x＝________。

6. 如果最简二次根式5x2与55. 化简123

三、解答题

7. 计算：（1）27－11511＋12

（2）545405

35252

8. 化简：2a3ab

2b327a32aba。

64二次根式的混合运算

一、选择题

112的结果是（

）

2A.52

B. 63

C. 3

2. 化简82(22)得（

）

1. 化简54A. －2

A. －7

二、填空题

B. D. 53

D. 422

22

C. 2

3. 计算(53)(53)(26)2的结果为（

）

B. 723

C. 743

D. 643

25223＝________。

534. 计算：35. 有四个实数分别为3，223，2，8，请你计算其中有理数的和与无理数的积的2差，其计算后的结果为________。

三、解答题

14823。

39367. 化简：18(32)0(12)2。

236. 计算：3122

二次根式的应用

一、选择题

1. △ABC两边的长分别为23，53，则第三边的长度不可能为（

）

A. 33

B. 43

C. 53

C. 22

D. 63

D.2 2. 若x－y＝2−1，xy＝2，则代数式（x－1）（y＋1）的值等于（

）

A. 22＋2

二、填空题

B. 22−2

222，，的大小关系是_______________。

55514. 若a＝5＋，则（a－3）（a＋3）－a（a－6）的值为__________。

23. 二次根式

三、解答题

5. 已知x322，y322，求xy4的值。

yx6. 洛湾中学要在主席台的一块长方形的土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长a＝510m，宽b＝415m。

（1）求该长方形土地的面积。（精确到0.01）

（2）若绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元？

二次根式的加减法则

1. A

解析：先将各项化成最简二次根式，再进行判断。

2. C

解析：选项A，D没有同类二次根式，所以不能进行加减，选项B虽有同类二次根式，但合并错误，应为52242。[来源学科网Z,X,X,K]

3. A

解析：将各项化为最简二次根式，再进行合并。

4. 32

解析：原式＝22232

5. 3

解析：原式＝2333。

1493；5

（2）356. 1

解析：由题意得5x＋2＝4x＋3，解得：x＝1。

7.（1）8. 5ab3a

2

二次根式的混合运算

112332353

22. A

解析：原式＝2222222

3. D

解析：原式＝53(26226)643

1. D

解析：原式＝544. 192

解析：原式＝(56)(5223)192

2×8，解得结果为－1。

228142323。

6. 解：原式63343233335. －1

解析：由题意得：[3＋（2）]－237. 解：1839362(12)1|12|

(32)0(12)232223323321212121。

22

二次根式的应用

1. A

解析：由题意知，△ABC两边的长分别为23，53，那么第三边x的取值范围为：53－23＜x＜53＋23，即33＜x＜73；观察四个选项，第三边的长度不可能为33。

2. B

解析：(x1)(y1)xyxy12211222

3. 25＞22＞

解析：5521022020102，即;,5555555222

5554. 65

解析：原式＝a2－3－a2＋6a＝6a－3，当a＝5＋1时，原式＝65＋3－3＝2

65。

x2y24xy(xy)26xy5. 解：原式＝＝。

xyxy因为x322，y322，

所以x＋y＝（322）＋（322）＝6，xy＝（322）（322＝1。

）＝32(22)2626xy所以4＝＝30。

1yx6. 解：（1）长方形土地的面积为：

510×415＝1006≈244.9（平方米）；

（2）∵长方形土地每平方米的造价为180元，

∴180×244.9＝44082（元）。

答：绿化该长方形土地所需资金为44082元。