阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质优秀获奖教案

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第二章:平面向量

2. 3.1平面向量基本定理及坐标表示．平面向量基本定理属于概念性知识。平面向量基本定理是在向剂量知识体系中占有核心地位的定理．一方面，平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁；另一方面，平面向量基本定理是共线向量基本定理由一维到二维的推广，揭示了平面向量的结构特征，将来还可以推广为空间向量基本定理．因此，平面向量基本定理在向量知识体系中起着承上启下的重要作用．

我认为该定理之所以用“基本”命名，主要是基于如下几个特点：

1.给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量；

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2.通过线性运算构造平面内所有向量，至少需要两个不共线的向量；

3.平面内任意向量的问题都可以转化为基底中两个向量之间的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；

4.选定基底后，平面内的任意向量与有序实数对一一对应，为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了

桥梁，实现了形与数的统一．

《课标》对本节课的要求是“了解平面向量基本定理及其意义”，我认为这是因为平面向量基本定理理论性非常强，而对定理的应用又主要体现在向量线性运算的几何意义以及坐标运算上，对平面向量基本定理的探究既是对前面所学向量线性运算知识的综合应用和对平行向量基本定理的推广，又为后继的平面向量坐标表示奠定了理论基础，充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，探究过程有助于学生体会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学思考和数学表述的能力．

1

课程目标

学科素养[来源:Zxxk.Com]

[来源学科网]

1.教学重点：；

2.教学难点：

（一）复习引入，铺垫新课

引例

如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点N为线段AB的中点，设ABa，ADb，用向量a，b的线性运算来表示向量MN、MA、MB．

DNMCAB

设计意图：

1．复习向量的线性运算；

2．使学生感受到用平面内两个给定向量的线性运算，可以表示出许多不同的向量；

3．利用这个并不困难的引例，引出本节课要研究的问题．

(二) 逆向设问，形成猜想

2

通过活动1，我们发现通过平面内两个给定向量的线性运算，可以表示出许多不同的向量．那么

问题1

想通过线性运算表示这些向量，必须给定两个向量吗？

设计意图：

1.如果两个给定向量就够用了，那么再增加其他的向量就没有必要了，体现数学的简单化原则；

2.通过回忆数乘向量的几何意义，说明一个非零向量只能表示与之共线的向量，无法表示与之不共线的向量，因此至少需要两个向量；

3.通过回忆平行向量基本定理，说明一个非零向量可以表示与之共线的任意向量，同时为后面应用平行向量基本定理，以及两个定理进行比较做知识上的复习．

预案：学生容易忽略特殊情况，如零向量．

问题2

通过平面内两个给定向量的线性运算可以表示多少向量，是有限个、无数个还是任意一个？

设计意图：[来源:学§科§网]

1．说明当给定的两个不全为零的向量共线的时候，只能表示与他们共线的向量，从而形成定理中的

“不共线”；

2．说明当给定的两个向量不共线时，只能表示与他们共面的向量，从而形成定理中的“这一平面内”；

3．区别“无数个”与“任意一个”，从而猜想定理中的“任意”．

预案：

1.学生认为两个给定的向量可以表示无数个向量而非任意一个，此时可以引导学生思考哪些向量无法表示；

2.学生容易忽略“平面内”的限定，认为两个给定的向量可以表示任意一个向量，这与此前学生数学学习中对三维空间研究较少有关，难以突破二维空间的思维局限，此时，教师可以给出反例，让学生体会；

3.学生容易忽略共线的特殊情况，认为同一平面内两个给定向量可以表示该平面内任意一个向量，此时可以追问学生“无论这两个向量如何给定，都可以表示平面内任意一个向量吗？”；

4.由问题1的讨论，有些学生容易想到当一个向量是零向量时，无法表示平面内任意向量，有些学生会想到当两给定向量共线时，无法表示平面内任意向量，教师需要引导学生认识到“不共线”的限定就排除了含零向量的可能．

活动1

请学生表述猜想：通过同一平面内两个不共线向量的线性运算可以表示这一平面内任意一个向量．

设计意图：

1.由猜想是否成立，引出课题；

2.猜想得到验证之后，这就是定理文字语言的描述，也是用符号语言进行描述的基础．

(三) 操作确认，定理雏形

3

活动2

操作确认，形成定理雏形

环节1

教师给定一组不共线向量e1、e2 (由向量的可平移性，不妨让这两个向量共起点) ，并给出待分解的向量a，请学生到黑板上作图，并说明作图过程及能够用e1、e2的线性运算来表示的原因．

[来源学科网]

a

设计意图：

e1

O

e2

1、基底给作共起点的情况，使学生更容易想到逆用平行四边形法则进行分解；

2、由这种情况入手，是因为这种情况与学生物理课上学习过的矢量分解类似，学生比较容易上手；

3、逆用向量线性运算法则，构造平行四边形或三角形，培养学生的逻辑推理能力；

4、通过较简单情况下向量a的分解，体会将向量a用不共线向量e1、e2的线性运算进行表示的方法和依据；5、通过对学生将向量a平移的追问，一方面再次明确向量只与大小、方向有关，与起点位置无关，即可以平移，另一方面说明平移至共起点是根据平行四边形法则中三个向量的位置关系，目的是便于构造平行四边形，从而说明可以将对平面内任意向量的验证问题简化为对以点O为起点的任意向量进行验证．

预案：如果学生逆用三角形法则对向量a进行分解，首先给予肯定，再询问其它方法；如果学生没有用三角形法则，那么在整个验证活动结束后，提醒学生逆用三角形法则也是可以验证的，可以课后进行尝试．

环节2

当向量a可以用不共线向量e1、e2的线性运算进行表示时，不改变向量的方向，只改变向量的大小，验证分解的存在性．

方案一：从形入手，可以先想象再配合几何画板直观观察分解的存在性．

方案二：从数入手，由平行向量基本定理，与向量a方向相同的向量一定可以写成ma，既然a=λ1e1+λ2e2，那么ma=mλ1e1+mλ2e2．

设计意图：

预案：

1、学生可能想不到从数的角度进行证明，这就需要教师进行引导了；

4

2、从数的角度进行说明的过程中，学生可能会发现向量ma可以表示与向量a共线的任意向量，也就是说如果向量a可以用不共线向量e1、e2的线性运算进行表示，那么与之共线的向量就都以用e1、e2的线性运算来表示，而不仅仅是与之同向的向量．如果学生发现这一点，是非常值得肯定的，这可以使得下一环节的验证进一步得到简化．但数乘向量可以表示与原向量方向相反的向量这件事，学生在认知上仍存在一定困难，为了分散难点，此处如果学生没有发现，教师也不必提及．

环节3

使向量a绕其起点旋转，随着旋转，向量a的分解方法会有什么不同吗？都有哪些情况呢？请想好的学生在黑板上画出代表不同情况的向量，对它们分别进行研究，提炼一般方法，验证任意性．同时，利用几何画板进行动态演示，直观确认任意性．

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学,科,网

e1

a1 Z,X,X,K]

设计意图：

a2 O

e2

a3

a4 a

1、通过对几种情况的区别，培养学生分类讨论的意识；通过对分类依据的交流，从分解出的向量与基底方向的关系，到线性运算中系数的符号，为后续课程中建立坐标系，划分象限埋下伏笔；

2、通过对上图中向量a1的分解方式与向量a分解方式的对比，将直接延长和反向延长有向线段的情况统一起来，提炼出相应的平行四边形的一般构造方法：过向量a的起点和终点分别作与e1、e2平行的直线，这四条直线围成所需平行四边形；

3、对向量a与e1、e2其中一个共线情况的讨论，为后面分析平面向量基本定理与共线向量基本定理之间的联系做铺垫；

4、利用几何画板动态演示使学生更加直观地确定猜想中的“任意”．

预案：

1、如果学生没有理解老师的意图，无从下手，教师可以使最初的向量a旋转一个小角度，使学生发现此时分解的方法与原方法一致，那么向量a继续旋转，什么时候分解方式就不同了呢？从而使学生理解老师的意图；

2、如果学生按照夹在两给定向量所成的小于180°的角内和角外进行分类，那么可以先请学生对画出的向量进行线性表示，并分析分解出的向量方向及线性表达式中系数的符号，从而从这个角度给出其余情况；

3、学生容易遗漏特殊情况，即与e1、e2其中一个共线的情况，可以由其他同学补充；

4、如果学生对向量a1、a3、a4不会分解，可以引导学生回忆非零向量共线的定义，即同向或反向．

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活动3

经过上述活动的探究，猜想得到了验证，试用符号语言总结得到的结论．[来源学科网]

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a存在实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2．

设计意图：学生对符号语言的表述有一定困难，但这也是培养学生数学表达能力的机会，需要教师帮助学生完善表述．

(四) 完善定理，理解辨析[来源:Z_xx_k.Com]

问题3

我们定性地说明了满足要求的实数λ1，λ2存在，那么到底存在多少组呢? 设计意图：

1、从定性研究到定量研究，使学生体会科学研究的一般思路；[来源:学科网ZXXK]

2、对唯一性的论证，一方面从形的角度用作图方法证明，贴近学生思维，培养论证表达能力，另一方面从数的角度用同一法、反证法证明，培养逻辑思维能力，同时使学生进一步体会向量是集数形于一身的数学概念；

3、理解当基底选定后，平面内的任意向量与有序实数对(λ1，λ2)一一对应，为后面向量的坐标表示做铺垫．

预案：

设计意图：将教材定理中的“有且只有”写作“存在唯一”，减少理解障碍．

教师解释定理的价值，深化学生对定理的认识：

阿基米德曾经说过：给我一个支点，我可以撬起地球．

通过平面向量基本定理，我们可以说：

给我两个不共线的向量，我可以通过简单的线性运算，构造出该平面内的所有向量；

给我两个不共线的向量，我可以把该平面内任意向量的问题都化归为这两个向量的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；

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给我两个不共线的向量，我可以把该平面内的向量与有序实数对建立一一对应，搭起数与形之间的桥梁，为用数的运算来刻画形的问题创造了可能．

我只需要两个不共线的向量！

设计意图：

1.借用阿基米德名言的句式，引起学生兴趣和注意；

2.通过排比，强调平面向量基本定理的重要价值；

3.说明这两个不共线向量的重要地位，引出基底定义．

给出基底的定义：[来源:学#科#网]

我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的基底(base)．

设计意图：给出基底的英文单词，base有基础的意思，更容易让学生理解基底是构建平面内所有向量的基础．我认为这也体现了平面向量基本定理中“基本”的含义．

问题4

这个定理与平行向量基本定理有什么联系？

设计意图：

1、使学生理解二者的联系：平面向量基本定理是平行向量基本定理由一维到二维的推广，平行向量基本定理是平面向量基本定理在一维时的特殊情形，这里体现了特殊与一般的辨证观点，在这种视角下，平行向量基本定理中的“非零向量”也可以称为一维空间上的一个基底，由它生成了与之共线的所有向量；

2、使学生体会联系地看待事物，而非割裂地看待知识，将新知识纳入到自己的知识网络中，提高对知识体系的整体认识．

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提出课后思考问题：三维空间的基底应该如何选取？

(五) 小结反思，布置作业

1．小结：

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