2.5.2 向量在物理中的应用举例说课稿【一等奖】

2．5 平面向量应用举例

一、学习目标：

1.理解用向量方法解决简单的平面几何问题、物理问题及其他一些实际问题．

2．掌握用向量方法解决问题的步骤，体会向量解决问题的优越性．

二、教学过程：

（一）导：

1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

2．向量在物理学中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．

（二）思：

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．

(

) (2)若△ABC为直角三角形，则有→AB·→BC＝0.(

) (3)若向量→AB∥→CD，则AB∥CD.(

) →＋→→－→

在△ABC中，若(CACB)·(CACB)＝0，则△ABC(

) A．是正三角形

C．是等腰三角形 B．是直角三角形

D．形状无法确定

已知三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________．

（三）议：

探究点1 向量在几何中的应用

如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD

1

交BC于点E，求BE∶EC. 解：法一：设→BA＝a，→BC＝b，|a|＝1，|b|＝2，则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，→BD＝a＋b. 设→BE＝λ→BC＝λb，则→AE＝→BE－→BA＝λb－a.由AE⊥BD，得→AE·→BD＝0，

223即(λb－a)·(a＋b)＝0，解得λ＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3. 555

1.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(

) A．梯形

B．菱形 C．矩形 D．正方形

3→→→→→→→→解析：选A.AB＝(3，3)，CD＝(－2，－2)，所以AB＝－CD，AB与CD共线，但|AB|≠|CD2|，故此四边形为梯形．

2．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

解：设→AD＝a，→AB＝b，则→BD＝a－b，→AC＝a＋b，

→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，

而|BD1→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，

所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又|AC2→|＝6，即AC＝6. 所以|AC探究点2 向量在物理中的应用

两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；

(2)F1，F2的合力F对该质点做的功. 解：→AB＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·→AB＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28. F2做的功W2＝F2·s＝F2·→AB＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·→AB＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.

2

1.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(

) A．53 N

`B．5 N C．10 N D．52 N 解析：选B.画出图形，如图，由题意|F1＋F2|＝10 N，所以|F1|＝|F1＋F2|cos 60°＝5 N，故选B.

2．中国青岛世界杯帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动．如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度大小为20 km/h，此时水的流向是正东方向，流速大小为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度．

解：如图建立平面直角坐标系xOy，风的方向为北偏东30°，速度大小为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，流速大小为|v2|＝20 km/h，

设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，103)，向量v2＝(20，0)，

则帆船行驶速度v＝v1＋v2＝(10，103)＋(20，0)＝(30，103)，

所以|v|＝302＋（103）2＝203 km/h.设v与v2的夹角为α，

则tan α＝1033＝，又α为锐角，所以α＝30°. 303所以帆船向东偏北30°方向行驶，速度大小为203 km/h.

（四）评：

1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面

22(1)要证明两线段相等，如AB＝CD，则可转化为证明→AB＝→CD. (2)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使→AB＝λ→CD成立，且AB与CD无公共点．

(3)要证明两线段垂直，如AB⊥CD，则只要证明数量积→AB·→CD＝0. (4)要证明A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使→AB＝λ→AC. (5)要求一个角，如∠ABC，只要求向量→BA与向量→BC的夹角即可．

2．向量方法研究物理问题的相关知识

(1)力、速度、加速度和位移都是向量．

3

(2)力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法．

(3)动量mv是数乘向量．

(4)功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积．

（五）检测：

1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(

) A．(－1，－2)

B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) 解析：选D.由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．

2．P是△ABC所在平面上的一点，若→PA·→PB＝→PB·→PC＝→PC·→PA，则P是△ABC的(

) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

→－→解析：选D.由→PB·(PAPC)＝→PB·→CA＝0，得→PB⊥→CA. →－→又→PC·(PBPA)＝→PC·→AB＝0，所以→PC⊥→AB，同理可得→PA⊥→CB，故P是△ABC的垂心．

3．已知力F＝(2，3)作用于一物体，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则力F对物体所做的功是________．

解析：因为→AB＝(－4，3)，所以W＝F·s＝F·→AB＝(2，3)·(－4，3)＝－8＋9＝1. 答案：1

4．已知平面内四边形ABCD和点O，若→OA＝a，→OB＝b，→OC＝c，→OD＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(

) A．菱形

B．梯形 C．矩形 D．平行四边形

解析：选D.由题意知a－b＝d－c，所以→BA＝→CD，所以四边形ABCD为平行四边形．故选D. 5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(

) A．6 N B．2 N C．25 N D．27 N 解析：选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋12|F1|·|F2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝27 N. 2

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