2.1.3 相等向量与共线向量优质课教学设计

课题：

《平面向量的实际背景及基本概念》

平定县第二中学校

董

娟

13643674975

《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计

一、教学内容解析

本节内容是选自人教A版高中数学必修4第二章第一节，由于向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因而成为“数形结合”的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节概念课，重点是向量的定义及相关概念，并且能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、教学目标设置

根据本课教材的特点，结合数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。本节课确定教学目标如下：

1、⑴

通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；

⑵

学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；

⑶

理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2、培养用联系的观点

，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；

3、使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

三、学生学情分析

学生的已有经验有，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

高一学生在认识能力、抽象能力和思维能力等方面相对较弱，由于对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以学生对它的认识不可能一步到位。因此，进行概念教学时，除了对概念进行逐字逐句分析外，还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析，并通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入。

四、教学策略分析

引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的主体地位和作用。 （1）重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等

（2）难点：向量的概念和共线向量的概念

五、教学过程

（一）、整章介绍

情境导入：

问题1：“南辕北辙” ：

据说战国时，有个北方人要到南方的楚国去。他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去。有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢？”他却说：“不要紧，我有一匹好马，…….，什么地方都能走到！”

结果：他永远到不了目的地！成为笑柄！

原因：脚力虽快，可惜方向错了！

位置，决定未来；方向，决定高度！

位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置。我们把北方人所在位置太行山脚下设为A，楚国设为B，如何由A确定B的位置呢？

一，确定方位，确定距离！在物理中我们用位移表示，像位移这样既有大小，又有方向的量，加以抽象，就是我们本章将要研究的向量。

在本章中，我们即将学***面向量的实际背景及基本概念；2、平面向量的线性运算；3、平面向量基本定理及坐标表示；4、平面向量的数量积；5、平面向量应用举例。

问题2：在物理中，你还能举出像位移一样的量吗？它们的共同特点是什么？

浮力、重力、速度，加速度等；共同特点是：既有大小，又有方向。（板书向量概念）

问题3:时间,路程,功是向量吗?速度,加速度是向量吗? 时间,路程,功不是向量；速度，加速度是向量。

因此，向量的两个必备要素：一方向，二大小。

类比数量内容，我们来探讨向量中的一些概念。

类比内容

数量

概念

表示

关系（比较大小）

a=b或a>b或a

特殊元素

运算

应用

……

只有大小，几何：数轴没有方向上的点

的量

符号：a,b,c 既有大小，

又有方向的量

单位1和0 加减乘除等

向量

……

……

问题4：向量的表示方法是什么？

(1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量. 符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段，

记作AB.(注意起终点顺序). (2)

字母表示法：可表示AB为a. (3)

思考：“向量就是有向线段,有向线段就是向量.”的说法对吗? 向量与有向线段的区别：

（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。

问题5：向量可以比较大小吗？

不能，因为方向不能比。向量AB的大小——向量AB长度称为向量的模. 记作：|AB|. 问题6：类比单位1和0，在向量中有特殊向量吗？

(1) 零向量——长度为零的向量，记作0. (2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量．

问题7：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？

P

类比内容

数量

概念

关系（比较大小）

表示

几何：数轴上的点

符号：a,b,c 特殊元素

运算

应用

……

只有大小，a=b或a>b没有方向或a

单位1和0 加减乘除等

向量

既有大小，可以相等，几何表示：单位向量又有方向但不能比有向线段

和零向量

的量

较大小

符号表示：a,b，AB

……

……

问题8：观察如图，你认为向量之间有那些关系？

(1)平行向量——方向相同或相反的非零向量，记作a∥b∥c. 规定：

0与任一向量平行. 问题9：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点O，这时各向量的终点之间有什么关系？这时它们是不是平行向量？

共线向量——平行向量又叫做共线向量．

（2）相等向量——长度相等且方向相同的向量，

记作ab.规定：00.

(3)相反向量——长度相等且方向相反的向量，

记作aa. （二）归纳小结知识框图

有向线段

表

示

向

量

向量的大小

a,AB

向量的方向

零向量

相等向量

单位向量

相反向量

（三）拓展应用

例.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，

平行向量

共线向量

分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量. 变式：

(1)与向量OA长度相等的向量有多少个？

(2)是否有与向量OA长度相等，方向相反的向量？

(3)与向量OA共线的向量有哪些？

（四）课堂练习

1、下列说法正确的是（

）

A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小. 2、设

O

是正方形

ABCD 的中心，则向量AO

, BO, OC, OD 是（

A、相等的向量

C、有相同起点的向量

）

B、平行的向量

D、模相等的向量

3、已知非零向量

a∥b,若非零向量

c∥a,则

c

与

b

必定

4、设在平面上给定了一个四边形

ABCD,点

K、L、M、N 分别是

AB、

BC、CD、DA 的中点,求证：

KL = NM 。

5、根据下列小题的条件，分别判断四边形

ABCD 的形状：

（1）ABCD

(2)ABDC,ABAD

六、课后反思

这节“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。概念的教学应在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目。要让学生参与概念本质特征的概括活动过程，这也是培养学生创新精神和实践能力的必由之路！

为了帮助学生建立向量的概念，在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。这也是本堂课的核心目标。

本课的教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学中还应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路。