探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期名师教学实录

教学课题：正弦型函数yAsin(x)

教材：普通高中课程标准实验教科书（人教B版）必修4（2007年4月第二版）

第一章第3节，P44—P50 教学对象：高中一年级普通班学生

时间：15分钟

一、教学目标

1、知识与技能

（1）结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义以及周期、频率、初相、相位等概念；

（2）借助计算机课件，观察参数w对函数图象的影响，并能深刻理解周期变换的实质和内在规律；

（3）会对函数ysinx进行周期变换。

2、过程与方法

（1）通过对探索过程的体验，培养学生的发现问题、研究问题的能力；

（2）领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。

3、情感、态度价值观

（1）让学生感受数学来源于生活，激发学生学习数学的兴趣；

（2）渗透数形结合的思想。

二、教学重点、难点

1、重点

（1）理解周期变换的规律；

（2）熟练地对函数ysinx进行周期变换。

2、难点

理解周期变换的规律。

三、道具使用

多媒体教学

四、学情分析

本节课是在学生已经学习本节教学内容之前的教材内容的情况下开展的，即学生已经学习了任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数及正弦函数的图象与性质等相关内容，掌握了画正弦曲线的“五点作图法”，此外，学生在“正弦函数的性质”一节已经学习了yAsin(x)（其中A0,0）的周期为T2。本节课主要让学生了解正弦型函数的实际意义和几个相关概念，并深刻理解对正弦型函数图象的影响，即理解周期变换的实质和内在规律，其中后者是本节课的重难点。由于教学对象为高中一年级普通班学生，所以对于重难点内容的教学应从学生容易理解的方式入手，再由浅入深，让学生在观察、分析、归纳总结的过程中形成规律。

五、教学方法

引导学生结合作图过程理解周期变换的规律（启发诱导式）。本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段进行教学活动。首先按照由

1

特殊到一般的认知规律，由形及数、数形结合，通过设置问题引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对正弦型函数周期变换的全面体验和理解。

六、教学过程及内容

（一）引入

以游乐场的观览车为切入点，提出观览车模型，师生共同分析。

如图1，是大观览车的示意图。设观览车转轮半径长为R，转动的角速度为弧度/秒；点B表示座椅的初始位置，以观览车的中心O为坐标原点建立直角坐标系，那么OB与x轴正方向的夹角为。

图1

图2

接下来让学生观察观览车转动时点B的运动情形（教师用多媒体演示）。

问题：假设转轮转动t秒后，点B到达点B’位置（如图2），大家想一想，此时B’点的纵坐标y与时间t有什么函数关系？

生：思考片刻

师：（引导学生作答）点B到达点B’位置时，OB’相对于x轴正方向转过角t，从而由三角函数知识知，B’点的纵坐标y与时间t有函数关系：yRsin(t)

讲解：当R、、取定时，yRsin(t)是y关于t的函数，我们称这种类型

x)（其中A、、

为常数，且的函数叫做正弦型函数，通常记为yAsin(A0，0）。这类函数在物理、工程等学科的研究中经常遇到，如交流电中电流与时间的关系，简谐振动中物体的位移与时间的关系等都可以用这类函数表示。我们主要来学习这类函数的几个相关概念及图象的关系。

【设计意图】以生活中常见的一个实例入手，引入本节的知识内容——正弦型函数，让学生了解正弦型函数的实际意义，并且这个例子还有利于学生对正弦型函数周期、频率和相位的理解。

（二）新课讲授

1、相关概念：周期、频率、初相和相位

先直接引出正弦型函数的周期、频率、初相和相位概念。

对于函数yAsin(x)（A0，0），其周期为T2，频率f1，T2

2

称为初相，x为相位。

接下来，对观览车的实际例子，让学生理解周期、频率、初相和相位的实际意义。

讲解：在刚才的观览车模型中，周期T所需要的时间，相应地，频率f2叫做点B的转动周期，即点B旋转一周1表示点B在一秒内旋转的周数，OB与x轴正方T2向的夹角为初相，t为相位。显然，初相即为t=0时刻的相位。

2、图象关系

通过观察正弦型函数的解析式yAsin(x)，引导学生发现，正弦型函数的图象受A、、这三个参数的影响。可以用控制变量法逐步探究每个参数对函数图象的影响，本次课主要探究参数对正弦型函数图象的影响。

在具体探究前，先从一个简单的例题入手。

例：在同一坐标系中作函数ysinx、ysin2x及ysin1x的简图。

2教师先引导学生回忆画这类函数图象的方法（“五点作图法”）的基本步骤，即确定周期，找出五个特殊点，列表，描点连线，图象平移。并且为简单起见，只让学生画出这三个函数在各自一个周期内的简图。

生：用“五点法”作出三个函数的简图。

师：寻看学生画简图的情况，待学生基本画完后，可以把学生中画得较好的函数图象在班上展示一下。然后用PPT课件逐一展示三个函数“五点法”作图的过程。最后在同一坐标系中呈现三个函数在各自一个周期内的图像（如下图3）。

图3

【设计意图】通过作图，使学生加深对“五点作图法”的理解。

1x的图象都可以由ysinx的图象而得21到，并且用多媒体展示这个过程（由正弦曲线逐步得到ysin2x和ysinx图象的动态2

接下来教师提出，其实ysin2x和ysin过程）。

为让学生进一步理解正弦曲线与ysin2x及ysin1x图象间的关系，先从2ysinx与ysin2x图象上的五个特殊点入手，在这些点之间建立对应关系，如图4：

3

图4

通过对五个特殊对应点坐标的比较，让学生有一个初步的认识，即对应点的纵坐标相同，而ysin2x上点的横坐标是ysinx上对应点横坐标的1倍。

2接下来教师提出，函数图象上的其它点是否也有这种对应，也满足纵坐标相同，且ysin2x上点的横坐标是ysinx上对应点横坐标的1倍呢？为让学生得到肯定的答2案，教师用多媒体动态展示正弦曲线上的点与sin2x图像上点的对应关系（如图5），并强调这种点的对应是“一对一”的。

图5 教师引导得出：函数ysin2x的图象可以看作是把ysinx上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1而得到。

2

图6 同理，教师用多媒体动态展示正弦曲线上的点与ysin1x图象上点的对应关系（如2

4

图6）。教师引导学生得到：函数ysin1x的图象可以看作是把ysinx上所有的点的2纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍而得到。

通过两种情形的分析，让学生分组讨论下列问题。

问题：讨论总结出如何由ysinx的图象得到ysinx（其中0且1）的图象？

生：分组讨论（讨论时间按具体情况而定）。

【设计意图】鼓励学生大胆猜想，使学生将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性，并培养学生由特殊到一般的解决问题的方法和归纳概括的能力。

师：学生基本讨论结束后，让一些小组发表意见，教师根据小组发言做适当点评。

教师小结：：一般地，函数ysinx（其中0且1）的图象，可以看作是把ysinx(xR)上所有的点的横坐标缩短（当1时）或伸长（当01时)到原来的1倍（纵坐标不变）而得到，称这个过程为周期变换。

最后，教师在几何画板中动态改变的值，让学生观察ysinx的图象随的变化情况，让学生加深理解对正弦型函数图象的影响，即决定了函数的周期，越大，函数的周期就越小，在一定的区间内曲线波动的次数就越多，函数图象在横轴上整体被压缩了，反之有相应的情况。

（三）归纳小结

1、正弦型函数的相关概念；

2、对正弦型函数图象的影响——周期变换

（四）巩固训练

1、函数ysin(2x2)的周期为＿＿＿，相位是＿＿＿，初相为＿＿＿

3 2、如何由ysinx得到ysin4x的图像？

注：在时间充裕的情况下，可以让学生在课堂上完成，否则作为课后练习。

七、板书设计

正弦型函数yAsin(x)（A≠0，＞0）

一、相关概念

周期：T2相位：x

初相：

频率：f1

T2

二、图像关系

（1）（0）对图象的影响——周期变换

5