2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示公开课教案（教学设计）

§2.3.1 平面向量基本定理及坐标表示

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

（4）理解平面向量的坐标的概念；

（5）掌握平面向量的坐标运算；

（6）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量基本定理. 平面向量的坐标运算

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、

复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

2．运算定律

结合律：λ(μa)=(λμ)a

；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，

λ(a+b)=λa+λb

3. 向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa. 二、讲解新课：

（一）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2. 探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

1



(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

（二）坐标表示

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 2

AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)= (x2 x1，

y2 y1) （3）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

三、讲解范例：

例1

已知向量e1，e2

求作向量2.5e1+3e2. 例2

如图

ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD

例3已知

ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE

例4（1）如图，OA，OB不共线，AP=tAB

(tR)用OA，OB表示OP. OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且

（2）设OA、OP(1t)OAtOB(tR).求证：A、B、P三点共线.

例5

已知

a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数、,使dab与c共线. 例6 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 例7已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 例8 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，

2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，

6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，

0) 3

例9已知三个力F1

(3，

4)，

F2(2，

5)，

F3(x，

y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标. 解：由题设F1+F2+F3=0

得：(3，

4)+ (2，

5)+(x，

y)=(0，

0) 32x0x5即：

∴

∴F3(5，1) 45y0y1四、课堂练习：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有(

) A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于(

) A.3

B.-3

C.0

D.2 4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1=

. 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线). 6．若M(3，

-2)

N(-5，

-1) 且

MP1MN，

求P点的坐标

27．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则AB2BC=

. 8．已知：四点A(5，

1)，

B(3，

4)，

C(1，

3)，

D(5，

-3) ，

求证：四边形ABCD是梯形.

五、小结

本节主要学***面向量基本定理及平面向量的坐标运算

六、课后作业：

课后P101 A组2，，,,4 七、板书设计

左边板书标题及相关知识点，右边黑板板书例题

八、课后记：（附教学反思）

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