2.3.1 变量之间的相关关系多媒体教案及点评

2.3变量间的相关关系

相关关系

如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫作相关关系．

[化解疑难] 两个变量间的关系分类

两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，如某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系；再一类是不相关，即两变量没有任何关系．

1．散点图

将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．

2．正相关和负相关

(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．

(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．

[化解疑难] 对正相关和负相关的理解

(1)正相关．

随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性的相关关系，我们称为正相关．例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少变多．

(2)负相关．

随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关关系，我们称为负相关．例如，汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程就越短．

回归直线方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线；

(2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程．

(3)回归方程的推导过程：

①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)；

^^^^^②设所求回归方程为y＝bx＋a，其中a，b是待定参数；

③由最小二乘法得

^b＝

x－x^^a＝y－bxni＝1ni＝1i－－

xi－xyi－yxiyi－nxyi＝1nn＝i＝12xi2－n

x2

^^其中：b是回归方程的斜率，a是截距．

[化解疑难] 回归直线方程与直线方程的区别

线性回归直线方程中y的上方加记号“^

”是与实际值y相区别，因为线性回归方程中^“y”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体^^的实际值而言，y的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y＝y＋e(其中e为随机变量)，^预测值y与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差决定．

相关关系的判断

[例1]

(1)下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号) ①正方形的边长与面积之间的关系；

②农作物的产量与施肥量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系；

④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．

答案：②④

(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示. 年龄x/岁

身高y/cm

1

78

2

87

3

98

4

108

5

115

6 120

①画出散点图；

②判断y与x是否具有线性相关关系．

解：①散点图如图所示．

②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．

[类题通法] 两个变量是否相关的两种判断方法

(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．

(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．

[活学活用] 如图所示的两个变量不具有相关关系的是_________________(填序号)．

答案：①④

求回归方程

[例2]

某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表所示：

商店名称

销售额x/千万元

利润额y/百万元

(1)画出销售额和利润额的散点图；

(2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程．

解：(1)散点图如下：

A 3

2

B 5

3

C 6

3

D 7

4

E 9 5

(2)数据如下表：

i 1

2

3

4

5

合计

^^可以求得b＝0.5，a＝0.4，

^线性回归方程为y＝0.5x＋0.4. [类题通法] 求线性回归方程的步骤

(1)计算平均数x，y. (2)计算xi与yi的积，求xiyi. i＝1(3)计算x2i. i＝1nnxi

3

5

6

7

9

30

yi

2

3

3

4

5

17

x2i

9

25

36

49

81

200

xiyi

6 15 18 28 45 112 －－xiyi－nxy^i＝1(4)将结果代入公式b＝nx2i－nxi＝1^^^(5)用a＝y－bx，求a. (6)写出回归方程．

[活学活用] 1．(湖北高考)根据如下样本数据

x y 3

4.0

4

2.5

n^，求b. 25

－0.5

6

0.5

7

－2.0

8 －3.0 ^得到的回归方程为y＝bx＋a，则(

) A．a＞0，b＞0

C．a＜0，b＞0 答案：B 2．已知变量x，y有如下对应数据：

x 1

2

3

4 B．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0

y (1)画出散点图．

1

3

4

5 (2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程．

解：(1)散点图如图所示：

1＋2＋3＋45(2)x＝＝，

42y＝41＋3＋4＋513＝，

44xiyi＝1＋6＋12＋20＝39. i＝14x2i＝1＋4＋9＋16＝30，

i＝151339－4××2413^b＝＝，

521030－4×2^13135a＝－×＝0，

4102^13所以y＝x为所求回归直线方程．

10

利用线性回归方程对总体进行估计

[例3]

一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：

转速x/(转·s1)(x∈N*)

－16

11

14

9

12

8

8 5 每小时生产有缺点的零件数y/件

(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归方程；

(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？

解：(1)由题意，可得x＝12.5，y＝8.25，

xiyi＝438，x2i＝660，

i＝1i＝1^438－4×12.5×8.25则b＝≈0.728 6，

660－4×12.52^^a＝y－bx＝－0.857 5. ^所以回归直线的方程为y＝0.728 6x－0.857 5. (2)要使y≤10，则0.728 6x－0.857 5≤10，

解得x≤14.90. 所以机器的转速应该控制在15转/秒以下．

[类题通法] 回归分析的三个步骤

(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义．

^^(2)求回归直线方程，其关键是正确地求得a，b. (3)根据直线方程进行预测．

[活学活用] (重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，xi2＝720. i＝1i＝1i＝1i＝11010101044(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a. (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关．

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

－－xiyi－nx

y－－－－，a＝y－bx，其中x，y为样本n2x2i－nxni＝1附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝－i＝1^^^平均值，线性回归方程也可写为y＝bx＋a. 解：(1)由题意知n＝10，

1n80x＝xi＝＝8，

ni＝11020－1ny＝yi＝＝2. ni＝110

－22又x2i－nx＝720－10×8＝80，

i＝1ni＝1－－xiyi－nx

y＝184－10×8×2＝24，

ni＝1－－xiyi－nx

y＝i＝12x2i－nxnn由此可得b＝－24＝0.3，

80－－a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，

故所求回归方程为y＝0.3x－0.4. (2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．

(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

线性相关关系的判断及回归方程的应用

[典例]

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对照数据：

x y (1)请画出上表数据的散点图；

^^^(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

3

2.5

4

3

5

4

6 4.5

课后作业：

一、选择题

1．下列命题正确的是(

) ①任何两个变量都具有相关关系；

②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；

③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；

④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．

A．①③④

C．③④⑤

答案：C 2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

^①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；

^②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；

^③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；

^④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578. B．②③④

D．②④⑤

其中一定不正确的结论的序号是(

) A．①②

C．③④

答案：D 3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x/万元

销售额y/万元

4

49

2

26

3

39

5 54 B．②③

D．①④

^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时的销售额为(

) A．63.6万元

C．67.7万元

答案：B 4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组^样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(

) A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本的中心点(x，y) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案：D ^^^^5．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y＝a＋bx中，回归系数b(

) A．不能小于0 C．不能等于0 答案：C 二、填空题

6．正常情况下，年龄在18岁到38岁之间的人，体重y(单位：kg)对身高x(单位：cm)^的回归方程为y＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm，她的体重应该在________ kg左右．

答案：69.96 7．为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单元：万元)和年教育支出y(单位：万元)．调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相^关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程为y＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家B．不能大于0 D．只能小于0 B．65.5万元

D．72.0万元

庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．

答案：0.15 8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：h)与当天投篮的命中率：

时间x 命中率y 1

0.4

2

0.5

3

0.6

4

0.6

5 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为________．

答案：0.5

0.53 三、解答题

9．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：t)，船员的人数^为5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为y＝9.5＋0.006 2x，

(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差人数；

(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．

解：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2则

^^y1－y2＝9.5＋0.006 2x1－(9.5＋0.006 2x2) ＝0.006 2×1 000≈6，

即船员平均相差6人．

^(2)当x＝192时，y＝9.5＋0.006 2×192≈11，

^当x＝3 246时，y＝9.5＋0.006 2×3 246≈30. 即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30和11. 10．某工厂对某种产品的产量与成本进行资料分析后有如下数据：

产量x/千件

成本y/万元

(1)画出散点图；

(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程；

(3)预计产量为8千件时的成本．

解：(1)散点图如下．

2

7

3

8

5

9

6 12

^^^(2)设成本y与产量x的线性回归方程为y＝bx＋a，

x＝n2＋3＋5＋67＋8＋9＋12＝4，y＝＝9. 44^b＝i＝1xiyi－nx

yxi2－nxn211＝＝1.1，

10i＝1^^a＝y－bx＝9－1.1×4＝4.6. ^所以，回归方程为y＝1.1x＋4.6. ^(3)当x＝8时，y＝1.1×8＋4.6＝8.8＋4.6＝13.4，即产量为8千件时，成本约为13.4万元．