2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课堂实录【1】

高中数学人教A版必修4第二章《平面向量》

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1．理解平面向量的正交分解的含义；

2. 掌握平面向量坐标表示；

二、过程与方法：

体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

教学重点：平面向量坐标表示及运算

教学难点：平面向量基本定理．

一、复习回顾

1、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、师生互动，讲授新课

1．

平面向量的正交分解及坐标表示

（1）正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. （2）向量的坐标表示

思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？

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高中数学人教A版必修4第二章《平面向量》

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得

a=xi+yj，

把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作

a=(x,y), 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，

显然，

i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). （3）向量与坐标的关系

思考：与a相等的向量坐标是什么？

向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同）

当向量起点被限制在原点时，作OA=a，这时向量OA的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系.

例1（课本P96例2）

如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标. 解：a=2i+3j=(2,3), b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3).

变式训练1：用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标.。

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2、平面向量的坐标运算：

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)= (x2 x1，

y2 y1) （3）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

（4）已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

ABOBOA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x2,y2-y1). 3. 平面向量的坐标运算法则

（1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．

（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. （3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

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高中数学人教A版必修4第二章《平面向量》

例2：如图，已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，求AB的坐标。

变式训练2：已知点A（-1，-5）和a=(2,3)，若AB3a，则点B的坐标为_____________ 例3课本P97例4）

已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 解：a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)，

a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)，

3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 变式训练3：已知a=(-1,2),b=(3,-5)，求a+b，a-b,3a,2a+3b的坐标.

例4 （课本P97例5）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为(x,y)，

因为AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2)，DC=(3-x,4-y)，

由ABDC，得(1,2)=(3-x,4-y)，

所以13xx2，

24yy2故顶点D的坐标为(2,2).

三、课堂小结，巩固反思

1．平面向量的坐标运算法则

四、课时必记：

【课本作业课外完成】

A组：

课本P101习题2.3 A组

第1、2、3、4、7题

B组：

课本P101习题2.3 B组

第1题

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