3.2.2 （整数值）随机数（random numbers)的产生课堂实录及点评

3．2.2

(整数值)随机数(randomnumbers)的产生

[学习目标]

1.了解随机数的意义.2.会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率.3.理解用模拟方法估计概率的实质．

知识点

(整数值)随机数的产生

1．随机数

要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．

2．伪随机数

计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质，因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．

3．产生随机数的常用方法

(1)用计算器产生；(2)用计算机产生；(3)抽签法．

4．随机模拟方法(蒙特卡罗方法) 用计算器或计算机模拟试验的方法．

题型一

随机数的产生方法

例1

产生10个1～100之间的取整数值的随机数．

解

方法一

抽签法．

(1)把100个大小、形状相同的小球分别标上号码1,2，3，…，100. (2)把这些已经标上号码的小球放到一个袋子中搅拌均匀．

(3)从袋子中任意摸出一个小球，这个球上的数就是第一个随机数．

(4)把步骤(3)中的操作重复10次，即可得到10个1～100之间的取整数值的随机数．

方法二

用计算器产生

按键过程如下：

1

以后反复按ENTER键10次，就可得到10个1～100之间的取整数值的随机数．

反思与感悟

1.可以采用抽签法或用计算机(器)产生随机数．

2．利用计算机或计算器产生随机数时，需切实保证操作步骤与顺序的正确性．并且注意不同型号的计算器产生随机数的方法可能会不同，具体操作可参照其说明书．

跟踪训练1

某校高一年级共20个班，1200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？

解

要把1200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．

(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．

(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)．

(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001,0002，…，1200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，依次类推．

题型二

随机数的应用

例2

一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．

解

用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．如下，产生20组随机数：

666

743

671

464

571 561

156

567

732

375 716

116

614

445

117 573

552

274

114

662 就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此2恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1. 20反思与感悟

整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．

跟踪训练2

某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．设计一个试验，随机模拟估计上述概率．

解

利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9代表成活，这样可以体现成活率是0.9，因为种植5棵这种树苗，所以每5个随机数作为一组，

2

可产生30组随机数：

69801

66097

77124

22961

74235

31516

29747 24945

57558

65258

74130

23224

37445

44344 33315

27120

21782

58555

91017

45241

44134 92201

70362

83005

94976

56173

34783

16624 30344

01117 这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活．其中有99组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率为＝30%. 30

用随机模拟估计概率

例3

通过模拟试验产生了20组随机数：

6830

3013

7055

7430

7740

4422

7884

2604

3346 0952

6807

9706

5774

5725

6576

5929

9768

6071 9138

6754 如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．

错解

因为表示三次击中目标分别是：

2604,5725,6576,6754共4个数．随机总数为20. 41所以所求概率为P＝＝＝0.2. 205错解分析

分析解题过程，你知道错在哪里吗？

错误的根本原因是由于审题不清，或因击中目标数多查或漏查而出现错误，导致计算结果不正确．

正解

因为表示三次击中目标分别是：3013,2604,5725,6576,6754，共5个数．随机数总共20个，所以所求的概率近似为答案

0.25 5＝0.25. 20

1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于(

) A．产生的随机数的大小

C．随机数对应的结果

答案

B 解析

随机数容量越大，概率越接近实际数．

3 B．产生的随机数的个数

D．产生随机数的方法

2．与大量重复试验相比，随机模拟方法的优点是(

) A．省时、省力

C．误差小

答案

A 3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907

966

191

925

271

932

812

458

569

683 431

257

393

027

556

488

730

113

537

989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(

) A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15 答案

B 5解析

易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393，所以P＝＝200.25. 4．从数字1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是(

) 1234A.B.C.D.

5555答案

B 82解析

基本事件总数为20，而大于40的基本事件数为8个，所以P＝＝. 2055．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是________．

答案

1

b－a＋1B．能得概率的精确值

D．产生的随机数多

解析

[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能1性是. b－a＋1

1.随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验．要熟练掌握随机数产生的方法以及随机模拟试验的步骤：(1)设计概率模型；(2)进行模拟试验；(3)统计试验结果．

2．计算器和计算机产生随机数的方法

用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从

4

整数a到整数b的取整数值的随机数．

一、选择题

1．下列不能产生随机数的是(

) A．抛掷骰子试验

B．抛硬币

C．计算器

D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体

答案

D 21解析

D项中，出现2的概率为，出现1,3,4,5的概率均是，则D项不能产生随机数．

662．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

907

966

191

925

271 932

812

458

569

683 631

257

393

027

556 488

730

113

137

989 则这三天中恰有两天下雨的概率约为(

) 137911A.B.C.D.

20202020答案

B 解析

由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，∴所求概7率为. 203．做A，B，C三件事的费用各不相同．在一次游戏中，要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序(由少到多依次排列)．如果某个参加者随意写出一种答案，则他正好答对的概率是(

)

5

1A.

31C.

5答案

D 1B.

41D.

6解析

所有可能的情形有：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种．而正确答案只有11种，故P＝. 64．袋子中有四个小球，分别写有“金、榜、题、名”四个字，从中任取一个小球，取到“题”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间的取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“金、榜、题、名”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

13

24

12

32

43

14

24

32

31

21

23

13

32

21

24

42

13

32

21

34 据此估计，直到第二次就停止的概率为(

) 1111A.B.C.D.

5432答案

B 5．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是(

) A．一定不会淋雨

1C．淋雨机会为

2答案

D 解析

用A，B分别表示下雨和不下雨，用a，b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为1(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝. 46．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(

) 3111A.B.C.D.

1051012答案

A 解析

随机取出两个小球有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，3共10种情况，和为3只有1种情况(1,2)，和为6可以是(1,5)，(2,4)，共2种情况．∴P＝. 107．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术成功1例”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术3B．淋雨机会为

41D．淋雨机会为

4

6

的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：

812,832,569,683,271,989,730,537,925,907 由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为(

) A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5 答案

A 2解析

由10组随机数知，4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为P＝10＝0.2. 二、填空题

8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．

答案

0.2 解析

由5根竹竿一次随机抽取2根竹竿的种数为4＋3＋2＋1＝10，它们的长度恰好相差20.3m的是2.5和2.8、2.6和2.9两种，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为P＝＝0.2. 109．抛掷两颗相同的骰子，用随机模拟方法估计“上面点数的和是6的倍数”的概率时，用1,2,3,4,5,6分别表示上面的点数是1,2,3,4,5,6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足上面点数的和是6的倍数：________.(填“是”或“否”) 答案

否

解析

16表示第一颗骰子向上的点数是1，第二颗骰子向上的点数是6，则上面点数的和是1＋6＝7，不表示和是6的倍数．

10．在用随机模拟方法求“盒中仅有4个白球和5个黑球，从中取4个，求取出2个白球2个黑球”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表白球，用5～9代表黑球．因为是摸出4个球，所以用每4个数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是____________________．

答案

摸出的4个球中，只有1个白球

11．现采用随机模拟的方法估计“某运动员射击4次，至少击中3次”的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生20组随机数：

7527

0293

7140

9857

0347

4373

8636

6947

1417

4698

0371

6233

2616

8045

6011

3661

9597

7424

7610

4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________．

答案

0.75 解析

因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所

7

5以射击4次至少击中3次的概率为1－＝0.75. 20三、解答题

12．一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47)．

解

利用计算器的随机函数RANDI(1,15)产生3个不同的1～15之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再利用计算器的随机函数RANDI(16,35)产生3个不同的16～35之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再用计算器的随机函数RANDI(36,47)产生2个不同的36～47之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)，这样就得到8道题的序号．

13．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．

解

利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表).034

743

738

636

964

736

614

698

637

162

332

616

804

560

111

410

959

774

246

762

428

114

572

042

533

237

322

707

360

751，就相当于做了30次试验．如果恰有2个或3个数在6,7,8,9中，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，11共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367. 30

8